Antecedentes:
Sea $M$ una variedad riemanniana. Sea $p \in M$ y $\epsilon \gt 0$.
Para $\epsilon$ suficientemente pequeño, la definición estándar (corríjame si estoy equivocado) de la 'bola geodésica de radio $\epsilon$ centrada en $p$' es:
$$B = \{ \gamma(1) \mid \gamma \text{ es una geodésica}, \gamma(0)=p, \text{ y } \langle \gamma'(0), \gamma'(0) \rangle \, \lt \epsilon \} .$$
Me pregunto: supongamos que en su lugar consideramos el conjunto
$$B_{\text{alt}} = \{ \gamma(\epsilon) \mid \gamma \text{ es una geodésica}, \gamma(0)=p, \text{ y } \langle \gamma'(0), \gamma'(0) \rangle \lt 1 \} .$$
(Hablando en términos generales, $B$ toma una bola de $\epsilon$ en $T_pM$ y hace avanzar las geodésicas en 1, mientras que $B_{\text{alt}}$ toma la bola unitaria en $T_pM$ y hace avanzar las geodésicas en $\epsilon$. $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es el producto interno métrico.)
Pregunta:
¿Tenemos $B = B_{\text{alt}}$? Si no es así, ¿hay un contraejemplo interesante? ¿O una razón intuitiva por la cual no deberíamos esperar que se cumpla la igualdad?
Nota:
He intentado calcular el volumen de $B_{\text{alt}}$ (hasta el próximo orden en $\epsilon$) en el caso especial de una variedad bidimensional con una métrica diagonal. A pesar de muchas comprobaciones cuidadosas, mi respuesta no coincide con la respuesta estándar para el volumen de una bola geodésica, por lo que sospecho que $B \ne B_{\text{alt}}.
¡Gracias por cualquier ayuda!
Apéndice - cálculo de $Vol(B_{\text{alt}})$ (añadido el 23/12)
Voy a volver a hacer mi cálculo del volumen de $B_{\text{alt}}$, teniendo en cuenta el comentario de joriki abajo. El problema que tenía (que no creo que se resuelva con la sugerencia de joriki de reemplazar $\epsilon$ por $\epsilon^{1/2}$, pero tendré que revisar para estar seguro) se describe en los dos párrafos siguientes.
Estoy haciendo el cálculo en un gráfico de coordenadas particular, asumiendo que la métrica es diagonal: $ds^2 = g_{11}(x^1,x^2) (dx^1)^2 + g_{22}(x^1,x^2) (dx^2)^2$. Encuentro que $Vol(B_{\text{alt}})$ incluye (hasta el próximo orden en $\epsilon$) los términos $(\partial_1)^2 g_{11}|_p$ y $(\partial_2)^2 g_{22}|_p$. En una métrica diagonal (y usando la conexión de Levi-Civita), el único símbolo de Christoffel en el que aparece $\partial_1 g_{11}$ es $\Gamma^1_{11} = \frac{1}{2} g^{11} \partial_1 g_{11}$. Sin embargo, la fórmula $R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{db} - \partial_d \Gamma^a_{cb} + \Gamma^a_{ce} \Gamma^e_{db} - \Gamma^a_{de} \Gamma^e_{cb}$ muestra que $\partial_1 \Gamma^1_{11}$ no aparece en la curvatura escalar - los dos primeros términos en la fórmula anterior se cancelan cuando todos los índices son iguales a 1.
Ahora explicaré cómo aparecen estos malos términos en mi cálculo. Mi enfoque es calcular $Vol(B_{\text{alt}}) = \int_{B_{\text{alt}}} dx^1 dx^2 \sqrt{g_{11}(x^1,x^2) g_{22}(x^1,x^2)}$ mediante la expansión de Taylor del integrando en torno al punto $p \leftrightarrow (x^1_0,x^2_0)$. Dado $a\ \partial_1|_p + b\ \partial_2|_p$ en la bola unitaria en $T_pM$, el punto correspondiente en $B_{\text{alt}}$ es $(x^1_0 + a\ \epsilon + C(a,b)\ \epsilon^2 + O(\epsilon^3), x^2_0 + b\ \epsilon + D(a,b)\ \epsilon^2 + O(\epsilon^3))$, donde $C,D$ son constantes que podemos obtener de la ecuación geodésica. Hay un factor jacobiano para cambiar las variables de $(x^1, x^2)$ a $(a,b)$. Pero la única forma (según me parece) de obtener las segundas derivadas de la métrica que aparecen en $R$ es expandir en serie de Taylor $\sqrt{det\quad g}$ a segundo orden. Ese es exactamente el orden en el que aparecen los malos términos $(\partial_1)^2 g_{11}|_p$ y $(\partial_2)^2 g_{22}|_p$ (incluso si reemplazamos $\epsilon$ por $\epsilon^{1/2}$).
(**) $C(a,b) = -\frac{1}{2}(a^2 \Gamma^1_{11} + b^2 \Gamma^1_{22} + a\ b\ \Gamma^1_{12})|_p$.
Gracias, Srivatsan, por tus ediciones en TeX... Todavía soy bastante nuevo en TeX.
