Ejemplo que demuestra que tener fibras finitas no es estable bajo el cambio de base.

Question

Me gustaría hacer algunas preguntas sobre geometría algebraica:

• ¿Puede alguien proporcionar un ejemplo de un morfismo de esquemas con fibras finitas tal que bajo un cambio de base no tenga fibras finitas? Supongo que está relacionado con la extensión infinita de campos pero no puedo encontrar un ejemplo preciso.

• ¿Cuándo es $\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p[x,y]/(xy^2-m))$ un esquema irreducible, para $m\in \mathbb{Z}$?

Answer 1

Si $K \subset L$ es una extensión de campos, entonces Spec $L \to$ Spec $K$ ciertamente tiene fibras finitas: solo hay una fibra, y es un único punto. Ahora considera el cambio de base sobre $L$, es decir, Spec $L\otimes_K L \to$ Spec $L$. Esto nuevamente tiene solo una fibra: ¿es finita?

Si $L$ es finito sobre $K$, la respuesta es sí, ya que en ese caso $L\otimes_K L$ es un álgebra de Artinian $L$.

Pero en general la respuesta es no; por ejemplo, si $L = K(x)$, entonces $L\otimes_K L$ tiene Spec infinito.

Por eso en EGA cuasi-finito se define como tener fibras finitas y ser de tipo finito; con esta definición es estable bajo cambio de base.

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Si $p \not\mid m$ entonces $\mathbb F_p[x,y]/(xy^2 - m) = \mathbb F_p[y,y^{-1}]$ (con $x$ identificado con $my^{-2}$), y por lo tanto es un dominio integral. Por lo tanto su Spec es irreducible; de hecho, es $\mathbb A^1 \setminus \{0\}$.

Si $p \mid m$, entonces $\mathbb F_p[x,y](xy^2 - m) = \mathbb F_p[x,y]/(xy^2)$, y por lo tanto su Spec es la unión de dos líneas, una de ellas duplicada, por lo que no es ni reducida ni irreducible.