Básicamente estoy buscando el comportamiento asintótico grande de $m$ de \begin{equation} \sum_{k=1}^{m}{m\choose k}\frac{a^k}{k} \end{equation> donde $a$ es una constante. Parece fácil para alguien que conoce esta área, así que solo estoy buscando que me indiquen en la dirección correcta.
Respuesta
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Si $\boldsymbol{a\gt0}$
Observe que $$ \begin{align} f(a,m) &=\sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{a^k}k\\ &=\sum_{k=1}^m\left[\binom{m-1}{k-1}+\binom{m-1}{k}\right]\frac{a^k}k\\ &=\frac1m\sum_{k=1}^m\binom{m}{k}a^k+\sum_{k=1}^{m-1}\binom{m-1}{k}\frac{a^k}k\\ &=\frac{(a+1)^m-1}m+f(a,m-1)\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{a^k}k=\sum_{k=1}^m\frac{(a+1)^k-1}k\tag{2} $$ Entonces tenemos $$ \begin{align} \lim_{m\to\infty}\frac{m}{(a+1)^m}\sum_{k=1}^m\frac{(a+1)^k}k &=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{(a+1)^m}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(a+1)^{m-k}}{m-k}\\ &=\color{#C00000}{\lim_{m\to\infty}\sum_{k=0}^{m-1}(a+1)^{-k}}+\color{#00A000}{\lim_{m\to\infty}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{k(a+1)^{-k}}{m-k}}\\ &=\color{#C00000}{\frac{a+1}a}+\color{#00A000}{0}\tag{3} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \lim_{m\to\infty}\frac{m}{(a+1)^m}\sum_{k=1}^m\frac1k &\le\lim_{m\to\infty}\frac{m^2}{(a+1)^m}\\ &=0\tag{4} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{m\to\infty}\frac{m}{(a+1)^m}\sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{a^k}k =\frac{a+1}a\tag{5} $$ Así, asintóticamente, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{a^k}k &\sim\frac{(a+1)^m}m\frac{a+1}a\\ &=\frac{(a+1)^{m+1}}{am}\tag{6} \end{align} $$
Si $\boldsymbol{-2\lt a\lt0}$
La ecuación $(2)$ sigue siendo válida, pero ahora $$ \lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m\frac{(a+1)^k}k=-\log(-a)\tag{7} $$ y $$ \sum_{k=1}^m\frac1k=\log(m)+\gamma+O\left(\frac1m\right)\tag{8} $$ Por lo tanto, asintóticamente, $$ \sum_{k=1}^m\binom{m}{k}\frac{a^k}k\sim-\log(m)-\gamma-\log(-a)\tag{9} $$
