Hola, estoy atascado en este paso de un problema y no sabemos cómo simplificarlo más. Estamos bastante seguros de que todo debería sumar cero. Aquí es donde estamos: Estamos tratando de averiguar si la suma de los residuos es cero si $$\beta_0 = 0$$ Comenzamos con $$\sum_{i=0}^n e_i= \sum_{i=0}^n (y_i - (\hat\beta_1 \cdot x_i))$$ Resolvimos para beta $$\hat\beta_1 = \sum_{i=0}^n y_i - \frac{\sum_{i=0}x_iy_i}{\sum_{i=0}x_i^2}$$ Luego insertamos la ecuación que resulta en esta ecuación $$\sum_{i=0}^n y_i - \frac{\sum_{i=0}^n x_iy_i \cdot \sum_{i=0}^n x_i} {\sum_{i=0}^n x_i^2}$$ Estoy bastante seguro de que a veces es cero pero otras no, pero necesito un empujón en la dirección correcta. ¡Gracias!
Respuesta
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Austin Weaver
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Esta expresión no es necesariamente 0. Contraejemplo:
$x_0 = 1\\y_0=3\\x_1=2\\y_1=5$
$\Sigma = y_0+y_1 - \frac{(x_0 y_0 + x_1 y_1)(x_0+x_1)}{x_0^2+x_1^2}\\=8 - \frac{(3+10)(1+2)}{1+4}\\=8-\frac{39}{5}$
Supongo que el origen de los $x_i$ y $y_i$ es muy importante para el comportamiento de estas sumas.
