Definición sobre vecindario en wiki

Question

La def. en wiki: "Sí $X$ es un espacio topológico y $p$ es un punto en $X$, un vecindario de $p$ es un subconjunto $V \subseteq X$ que incluye un conjunto abierto $U$ que contiene a $p".

Y dice: "Nota que el vecindario $V$ no necesita ser abierto en sí mismo".

Luego, dice: "Un conjunto que es vecindario de cada uno de sus puntos es abierto".

Las afirmaciones anteriores parecen extrañas; una dice que un vecindario no necesita ser abierto; la otra, que sea abierto. Sé que la diferencia es una dice un punto; el otro, un conjunto. ¿Hay alguna otra explicación estricta?

Gracias

Answer 1

La afirmación que tienes no contradice el hecho de que un vecindario no necesariamente debe ser abierto, simplemente resulta ser abierto, dado la condición añadida de que es un vecindario para cada uno de sus puntos:

Sea $V$ un vecindario de algún punto $p$. Supongamos que $V$ es un vecindario para cada uno de sus puntos, lo que significa que si $x \in V$, entonces existe un $U$ abierto con $x \in U \subseteq V. Concluye que$V$ es abierto por definición de conjunto abierto.