Resolver $d^2+d^3=324, d>0$ en números reales.

Question

Resolver $\quad d^2+d^3=324,\quad d>0$ en números reales.

Estaba resolviendo un problema de Geometría que me pedía encontrar el diámetro.

Un contenedor cilíndrico de diámetro $12$ cm y altura $15$ cm está lleno de helado. Todo el helado debe ser distribuido a $10$ niños en conos iguales con tapas hemisféricas. Si la altura de la parte cónica es el doble del diámetro de su base, encuentra el diámetro del cono de helado.

luego llegué a esto

$ d^2+d^3=324$

Wolfram da esta respuesta como $\approx 6.55$

¿Cómo puedo encontrar esto usando papel y lápiz?

He estudiado matemáticas hasta el grado $12$.

Answer 1

Primero encontramos el volumen del cilindro de helado y lo dividimos por 10.

$\pi*6^2*15=540\pi/10=54\pi$

Entonces cada cono debe tener un volumen de $54\pi$

Usando el volumen de un cono y de un hemisferio, obtenemos

$1/3\pi*r^2*h+1/2*4/3\pi*r^3=54\pi$

Dividimos por pi y simplificamos:

$1/3r^2*h+2/3r^3=54$

Entonces el problema estableció que la altura es el doble del diámetro, que sería 4 veces el radio, por lo que h=4r, dándote:

$1/3r^2*4r+2/3r^3=54$

$4/3r^3+2/3r^3=54$

Resolviendo para $r$ obtienes $r=3$, por lo que el diámetro es $6$.