¿Cómo usar la Desigualdad de Markov para encontrar el límite superior de $\mathbb{P}(X > 2)$ dado que solo tengo información sobre $X^4$?

Question

Sea $X$ una variable aleatoria no negativa que satisface $\mathbb{E}[X^{4}]=4$.

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¿Cómo debo calcular una estimación para $\mathbb{P}(X \geq 2)$ usando la Desigualdad de Markov?

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Intenté encontrar una relación entre $\mathbb{E}[X]$ y $\mathbb{E}[X^{4}]$, pero no pude encontrar una generalización.

Me pregunté si podía asumir que $\mathbb{E}[X^{4}] = (\mathbb{E}[X])^{\frac{1}{4}}=4$ así que probé algunos modelos simples usando R.

Aquí está mi código.

sample = 1000000 
set.seed(3535) 
z = rexp(n = sorteio, rate = 2) #Z is nonnegative.

mean(z)
#> [1] 0.5008756 
mean(z^0.25)
#> [1] 0.7625577 
(mean(z))^0.25
#> [1] 0.8412643

Como sospechaba, no puedo hacer esa generalización.

¿Alguien puede apuntarme en la dirección correcta?

Answer 1

Observa la prueba de la desigualdad de Markov para variables aleatorias no negativas $Y$. Se basa en la observación de que para $y > 0$, $~\alpha^{-1} y > \mathbb 1_{y > \alpha}$ y así $$E[\alpha^{-1} Y] \geq E[\mathbb 1_{Y > \alpha}] = P\{Y > \alpha\}$$ o equivalentemente, $$P\{Y > \alpha\} \leq \frac{1}{\alpha}E[Y].$$ Luego, observa que $\left(\frac x2\right)^4 > \mathbb 1_{x > 2}$ y por lo tanto debe ser que $$E\left[\left(\frac X2\right)^4\right] = \frac 14 \geq E[\mathbb 1_{X > 2}] = P\{X >2\}.$$