Función que describe el enfoque de (1 + 1/n)^n hacia el número de Euler. ¿Cuál es el límite?

Question

Voy a tratar de expresar la función en partes simples. Primero, toma $\lim\limits_{n \to } (1+\frac{1}{n})^n$, luego resta e a cada valor de n. Calcula el recíproco de esta función. ¿Cuál es el límite de la derivada de esta función?

$ \frac{d}{dn}\lim\limits_{n \to } 1/(e-(1+\frac{1}{n})^n)$,

Una forma de definir el número de Euler es el límite a medida que n tiende a infinito de (1 + 1/n)^n. He utilizado Excel para calcular cada valor hasta n = 1,000. Luego calculé el inverso de la diferencia de e para cada valor de n. Para n= 1, obtenemos (1+1/1)^2=2. Entonces, 1/(e - 2) = 1.3922... Para n = 2, tenemos (1+1/2)^2= 2.25. Luego, (1/e-2.25) = 2.1355...

Este valor aumenta a medida que n aumenta, como se esperaba. Luego calculé la diferencia entre el valor y el anterior. Descubrí que este valor disminuye hasta cierto punto, pero no de manera suave. Cuando se grafica después de aproximadamente n = 250 hay una tendencia errática pero descendente. Sin embargo, no estoy seguro si este comportamiento errático se debe a errores de redondeo sucesivos de Excel. El valor promedio de n = 900 a n= 1000 es 0.735758909. La serie parece converger muy rápidamente, con tan solo n = 5 obtenemos 0.736817183. ¿Cuál es el valor exacto de este límite? ¿Está relacionado con alguna constante importante?

Answer 1

Básicamente, lo que necesitas es cuantificar en un sentido preciso "a qué velocidad $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ se acerca a su límite $e$."

Para hacerlo, uno de los métodos preferidos y muy útiles es usar expansiones de Taylor$^{(\dagger)}$ $$\begin{align} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n &= e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = e^{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)} = e^{1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)} = e\cdot e^{-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)} \\&= e\cdot \left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right) = e - \frac{e}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right) \end{align}$$ así que obtenemos $$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - e \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} -\frac{e}{2n}.$$ (lo cual significa, en un sentido formal, que "la diferencia se comporta como $-\frac{e}{2n}$ cuando $n$ tiende a $\infty$")

En particular, lo que pareces estar considerando (la forma en que lo escribiste está ligeramente mal, la derivada no debería estar fuera del límite) es $$ \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{2}{e}. $$

Ten en cuenta que $\frac{2}{e} \simeq 0.73575888$, por lo que esto es realmente consistente con tus experimentos numéricos.

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$(\dagger)$ Específicamente, dos estándar, a bajo orden: $\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$ y $e^x = 1+x + o(x)$ cuando $x\to 0$.