Cómo Resolver Ecuaciones Trigonométricas?

Question

Cómo se supone que debes ir sobre la resolución de ecuaciones como:

$$-\sqrt{3} = \frac{\sin{4\theta}}{\sin{7\theta}}.$$

Sé que $\theta = 30^{\circ}$ es una solución, pero ¿cómo puedo encontrar todas las soluciones utilizando el álgebra?

Gracias

Edit: me di cuenta de un posible método de razonamiento. Para $-\sqrt{3} = \frac{\sin{4\theta}}{\sin{7\theta}}$ para ser verdad, teniendo el "valor especial" de las $\sin$ función en el círculo unidad, una forma de alcanzar el valor de $-\sqrt{3}$ es tener ya sea $$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}$$ or $$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}.$$ Solving for the first case, to achieve a negative value in the denominator, $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ (since you want $4\theta\leq180^{\circ}$ and $\sin{7\theta}\lt0$). Then the only value for $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ in the first quadrant is $\theta = \frac{\pi}{6}$.

El uso de razonamiento similar, se puede deducir una simétricas valor en el caso de que el numerador es negativo. Este método para mí, sin embargo, se siente poco profesional y "débil". Así que, de nuevo, hay una más definitiva, la solución algebraica?

Answer 1

El uso de las identidades

$$\sin4\theta = 4\cos\theta\left (\sin\theta - 2\sin^3\theta\right)$$

$$ \sin7\theta = -64\sin^7\theta + 112\sin^5\theta -56\sin^3\theta+7\sin\theta,$$ obtained from De Moivre's formula and by taking the substitution $\cos^2\theta =1-\sin^2\theta$.

Por lo tanto,

$$ \frac{4\cos\theta\left (\sin\theta - 2\sin^3\theta\right)}{-64\sin^7\theta + 112\sin^5\theta -56\sin^3\theta+7\sin\theta} = -\sqrt{3} $$$$ \implica \cos\theta = \frac{\sqrt{3}\left(64\sin^7\theta - 112\sin^5\theta +56\sin^3\theta-7\sin\theta\right)}{4\left(\sin\theta - 2\sin^3\theta\right)}.$$

La plaza de la ecuación (seguimos las soluciones) y do $y = \sin\theta$. Por lo tanto,

$$1-y^2 = \frac{3\left(64y^7-112y^5+56y^3-7y\right)^2}{16\left(y-2y^3\right)^2}$$ $$$$ $$\implies 12288y^{12} -43008y^{10}+59136y^8-40256y^6+13984y^4 -2272y^2 +131 = 0.$$

Ahora, tome $z = y^2$. Por lo tanto,

$$12288z^6 -43008z^5+59136z^4-40256z^3+13984z^2 -2272z +131 = 0,$$ which has $6$ positive solutions (found numerically). So, from $z$, you can easily find $s$ and $\theta$.

Nota: Puesto que la ecuación era cuadrado, se deben probar las soluciones de $\theta$ en la ecuación original.

Answer 2

Usted puede escribir la ecuación como $$\frac{\sin 4\theta}{\sin \theta} + \sqrt{3}\frac{\sin 7\theta}{\sin \theta} = 0.$$ Cada fracción se puede escribir como una función de $t = \cos \theta$. Esto demuestra que si un ángulo es una solución o no sólo depende de su coseno, por lo tanto es necesario encontrar soluciones de $\theta$ a la ecuación de $(0,\pi)$, y luego otras soluciones se obtiene como $\pm \theta + 2\pi n$.

Expicitly, nos encontramos con $$8t^3 - 4t + \sqrt{3}(64t^6 - 80t^4 + 24t^2 - 1) = 0.$$ Desde $t_1 = \sqrt{3}/2$ es una solución, dividimos por $2t-\sqrt{3}$ y encontrar la ecuación $$32 \sqrt{3} t^5+48 t^4-16 \sqrt{3} t^3-20 t^2+2 \sqrt{3} t+1 = 0,$$ que de acuerdo a Wolfram Alpha tiene las soluciones $$ t_2 \aprox -0.93531434645348586217 \\ t_3 \aprox -0.64480000754256621365 \\ t_4 \aprox -0.17020647383131240361 \\ t_5 \aprox 0.30168315890275447056 \\ t_6 \aprox 0.58261226514017136211 \\ $$ Para encontrar todas las soluciones a la ecuación original en $(0,\pi)$, debemos tomar la arccosines de estos números, además de a $\arccos t_1 = \pi/6$. Por lo tanto las soluciones son $\pm \theta_i + 2\pi n$, donde $$ \theta_1 = \pi/6 \\ \theta_2 \aprox 2.7799427920394627406 \\ \theta_3 \aprox 2.2715579312242782072 \\ \theta_4 \aprox 1.7418355233567214888 \\ \theta_5 \aprox 1.2643387521053641769 \\ \theta_6 \aprox 0.94885721910009571098 $$

Por desgracia, no tengo idea de si estos números se han cerrado las formas.