¿Por qué es la covarianza negativa?

Question

Considere $n$ ensayos independientes, cada uno de los cuales resulta en cualquiera de los resultados $i$, $i=1,2,3$, con probabilidades respectivas $p_1,p_2,p_3$, $p_1+p_2+p_3=1$. Sea $N_i$ el número de ensayos que resultan en el resultado $i$. ¿Cómo puedo mostrar que $Cov(N_1,N_2)=-np_1p_2$? ¿Por qué es intuitivo que la covarianza sea negativa?

Actualmente, tengo lo siguiente.

Para $i=1,...,n$ sea

$$X_i = \begin{cases} 1 & \text{si el ensayo} \ i \text{resulta en el resultado 1} \\ 0 & \text{si el ensayo} \ i \text{ no resulta en el resultado 1}\end{cases}$$

De manera similar, para $j=1,...,n$, sea

$$Y_j = \begin{cases} 1 & \text{si el ensayo} \ j \text{resulta en el resultado 2} \\ 0 & \text{si el ensayo } j \text{ no resulta en el resultado 2}\end{cases}$$

¿Cómo argumento lo siguiente?

$$N_1 = \sum_{i=1}^{n}X_i,\ N_2=\sum_{j=1}^{n}Y_j$$

¿Cómo debo proceder utilizando las propiedades de covarianza a partir de este punto?

Answer 1

¿Por qué intuitivo? Porque si sabemos que $N_1$ es bastante grande, entonces hay una mayor probabilidad de que $N_2$ sea bastante pequeño, y viceversa. Están negativamente correlacionados.

Para calcular la covarianza, nota que $$E(N_1)=E(X_1+\cdots X_n)=E(X_1)+\cdots+E(X_n).$$ Pero $E(X_i)=p_1$, entonces $E(N_1)=np_1$. De manera similar, $E(N_2)=np_2.

Finalmente, debemos encontrar $E(N_1N_2)$. Así que queremos $$E((X_1+X_2+\cdots+X_n)(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n)).$$ Imagina expandir $$(X_1+X_2+\cdots+X_n)(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n).$$ Muchos términos. Nota primero que para cualquier $i$, $X_iY_i=0$, ya que $X_i$ y $Y_i$ no pueden ser $1$ al mismo tiempo. Así que podemos olvidarnos de estos, y nuestro producto expandido es una suma de términos de la forma $X_iY_j$ donde $i\ne j. Pero $X_i$ y $Y_j$ son independientes, entonces $E(X_iY_j)=E(X_i)E(Y_j)=p_1p_2.

Finalmente, ¿cuántos términos hay de la forma $X_iY_j$ con $i\ne j$? Por cada elección de $i$, hay $n-1$ posibilidades para $j$, dando un total de $n(n-1).

Concluimos que $E(N_1N_2)=n(n-1)p_1p_2$. Restamos $E(N_1)E(N_2)$, que es $n^2p_1p_2.

Olvidado: ¿Por qué es $N_1=X_1+X_2+\cdots X_n$? Llamemos a los tres posibles resultados $A$, $B$ y $C$. Tenemos que $X_i=1$ si ocurre $A$, $X_i=0$ en caso contrario. Entonces sumar los $X_i$ simplemente significa agregar un $1$ cada vez que ocurre $A$. Básicamente, para $i=1$ a $n$, estamos escribiendo un $1$ cada vez que ocurre $A. El número de estos $1$'s, que es la suma de estos $1$'s, es la cantidad de veces que ocurrió $A$. Esto, por definición, es $N_1$.

Answer 2

Intuitivamente, $N_2$ será más grande con mayor frecuencia cuando $N_1$ es pequeño que cuando $N_1$ es grande (porque hay más espacio para más resultados de tipo 2 cuando hay menos resultados de tipo 1) y esto conduce a una covarianza negativa.

Calcularía usando $$Var(X_3) = Var(X_1+X_2) = Var(X_1)+2Cov(X_1,X_2)+Var(X_2)$$

$$np_3(1-p_3) = np_1(1-p_1)+2Cov(X_1,X_2)+np_2(1-p_2)$$

$$n(1-p_1-p_2)(p_1+p_2) = np_1(1-p_1)+2Cov(X_1,X_2)+np_2(1-p_2)$$

y expandir y resolver.