Período fundamental de la función delta periódica

Question

Tengo la siguiente señal:

$$ x[n] = X\sum_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[n - 4k] + \delta[n - 4k - 1] \delta[n - 4k - 2] \delta[n - 4k - 3])$$

El período fundamental de esta señal es \$4\$. ¿Es esto puramente por el factor delante de \$k\$? En segundo lugar, si yo fuera a dibujar la señal por 1 período, ¿sería el valor para \$x[0] = \delta[0] + \delta[-1] - \delta[-2] - \delta[-3]\$? ¿O tendría que tener en cuenta el valor de k?

Answer 1

Okay, vamos con la definición de periodicidad:

\begin{equation*} x[n]=x[n+T] \end{equation*}

lo que a su vez produce:

\begin{eqnarray*} x[n+T] = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[n+T-4k]+\delta[n+T-4k-1]-\delta[n+T-4k-2]-\delta[n+T-4k-3]) \\ = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[n-(4k-T)]+\delta[n-(4k+1-T]-\delta[n-(4k+2-T)]-\delta[n-(4k+3-T)]) \end{eqnarray*}

Al inspeccionar, si permitimos que T=4,

\begin{eqnarray*} x[n+4] = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[n-(4k-4)]+\delta[n-(4k+1-4]-\delta[n-(4k+2-4)]-\delta[n-(4k+3-4)]) \\ = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[n-4(k-1)]+\delta[n-(4k-3)]-\delta[n-(4k-2)]-\delta[n-(4k-1)]) \end{eqnarray*}

Ahora tomemos k-1=m o m=k+1. Tenga en cuenta que los límites en m permanecen iguales:

\begin{eqnarray*} x[n+4] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} (\delta[n-4m]+\delta[n-4m-1)]-\delta[n-4m-2]-\delta[n-4m-3)]) \\ = x[n] \end{eqnarray*}

Esto explica por qué el periodo de x[n] es 4. Naturalmente, el periodo está directamente relacionado con el coeficiente de k, como se puede ver en las ecuaciones anteriores.

En cuanto a x[0], n toma el valor de 0, pero k sigue abarcando desde menos infinito hasta infinito.

\begin{equation*} x[0] = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (\delta[-4k]+\delta[-4k-1]-\delta[-4k-2]-\delta[-4k-3]) \end{equation*}