¿Cuándo se descomponen los complejos de cadenas como una suma directa?

Question

He estado observando algunas subcategorías gruesas en $K^b (R-proj)$ (la categoría de homotopía de complejos de cadenas acotadas de módulos proyectivos), y, como era de esperar, me estoy encontrando con la pregunta de cuándo los complejos de cadenas se dividen con bastante frecuencia. Me pregunto qué tipos de criterios útiles existen para determinar cuándo se dividen los complejos de cadenas. Por "dividir" me refiero a descomponer como dos complejos no triviales $A = A_1 \oplus A_2$.

Si es necesario, siéntete libre de fortalecer un poco las hipótesis: estos pueden ser complejos de módulos libres, si lo prefieres. Solo estoy tratando de tener una idea de cómo mirar un complejo de cadenas y pensar, "Probablemente se divide..." o, "Probablemente no...". También recuerda que estoy trabajando en la categoría de homotopía, así que si la pregunta se vuelve más fácil cuando objetos homotópicamente equivalentes se identifican, siéntete libre de usar esta hipótesis.

Answer 1

Un resultado que garantiza tal descomposición viene de mirar el soporte homológico de tales complejos (suponiendo que $R$ es conmutativo, por lo que tenemos un producto tensorial). El soporte homológico de un complejo $A$ es simplemente la unión de los soportes de los $H^i(A)$ como módulos sobre $R$. Entonces es un resultado de Balmer, en el artículo Soportes y Filtraciones en Geometría Algebraica y Teoría de Representación Modular, disponible en su sitio web, que si el soporte homológico de $A$ puede ser escrito como una unión disjunta de subconjuntos cerrados $Y_1\cup Y_2$ de $\mathrm{Spec} \;R$ cuyos complementos son cuasi-compactos entonces $A\cong A_1\oplus A_2$ en $K^b(R\text{-}\mathrm{proj})$ donde el soporte homológico de $A_i$ es $Y_i.

Otro método que funciona para cualquier categoría triangulada es si $f\colon A\to B$ es un morfismo, entonces el triángulo que se obtiene al completar se divide dando $B\cong A\oplus \mathrm{cono}(f)$ si y solo si el mapa $\mathrm{cono}(f) \to \Sigma A$ es cero. Una referencia para esto es el Corolario 1.2.5 del libro de Neeman sobre categorías trianguladas (creo que también he puesto la prueba en MO antes, pero no puedo recordar en qué respuesta, tal vez pueda buscarla después).

Answer 2

Esto es lo que sucede cuando los autores de libros de texto inventan términos. De hecho, mi primera suposición sobre lo que querías decir con "split" fue "cuasi-isomorfo a su homología" (es decir, al complejo de cadenas con bordes cero que tiene la misma homología). Parece que esto fue esencialmente correcto.

Supongo que sabes que para $R=\mathbb Z$ y más generalmente para cualquier anillo tal que los submódulos de proyectivos sean proyectivos (es decir, $Ext^i=0$ cuando $i>1$) cada complejo de cadenas de módulos se divide en el sentido de Weibel y por lo tanto es cuasi-isomorfo a su homología.

Supondría que un complejo de cadenas de módulos de $R$ debe estar dividido si para $a$ menor que $b$ tenemos $Ext^{b-a+1}(H_a(C),H_b(C))=0$. O al menos supondría que eso es cierto si $C$ está acotado por debajo.

Mencionaste complejos acotados. ¿Te refieres a acotados por arriba y por debajo?

Answer 3

Creo que la pregunta es: "¿cuándo son isomorfos los complejos $A^\bullet$ y $\bigoplus H^i(A^\bullet)[-i]$ (con diferencial trivial) en la categoría derivada"? - lo cual, como dices, no es muy profundo para un complejo acíclico...

Un complejo con solo dos grupos de cohomología no nulos, digamos $H^0$ y $H^n$, puede ser reescrito después de la truncación como una $(n+1)$-extensión de Yoneda de $H^n$ por $H^0$ $$ 0 \to H^0 \to A^0 \to \dots A^n \to H^n \to 0 $$ así que la obstrucción en este caso es solo un elemento de $Ext^{n+1}(H^n,H^0)$. Para un complejo más general se puede proceder de forma inductiva: primero dividir las 2-extensiones $H^{i-1} \to * \to * \to H^i$, luego las 3-extensiones... pero eso no es muy agradable. La dimensión cohomológica puede simplificar las consideraciones.

Un punto de partida útil es la tesis de Deligne: "Theoreme de Lefschetz et criteres de degenerescence..." (Publ Math IHES 35 (1968) 107-126) donde prueba algunos resultados importantes de división de este tipo en un entorno geométrico, y un artículo secuela posterior de Deligne "Decomposition dans la categorie derivee" (en el volumen 1 de las actas de los Motivos, Proc Symp AMS 55). También existe un estudio de algunas divisiones en la cohomología de de Rham en el papel de Deligne-Illusie sobre la degeneración de la sucesión espectral de Hodge-de Rham y Frobenius (Inventiones vol.89). Me temo que estos pueden ser demasiado geométricos para lo que tienes en mente, sin embargo.

Answer 4

Una respuesta débil, es decir, un caso especial sería que si su categoría abeliana $A$ tiene dimensión global 0 ($Ext^i(X,Y) = 0$ para $i>0$), por ejemplo, la categoría de espacios vectoriales, entonces cualquier complejo que involucre elementos de $A$ se divide en complejos de ciclos, fronteras y homologías.

En caso de que su categoría abeliana tenga dimensión global 1, entonces los complejos en la Categoría Derivada acotada (¡no necesariamente en la categoría homotópica!) de $A$ se dividen en homologías (con suficientes traducciones), es decir,

para cada $E \epsilon$ $D^b(A)$, $E=\oplus H^i(E)[-i].