Demostrar que $\det(\text{Id}+T)\ge 1+\det(T)$

Question

Sea un operador autoadjunto $T:V\to V$ sobre $\mathbb{C}$, tal que $\langle Tv,v \rangle \ge 0$ (por lo que es esencialmente un número real). Hemos aprendido antes que para este tipo de $T$, todos sus eigenvalores son no negativos ($\ge 0$).

Demuestra que $\det(\text{Id}+T)\ge 1+\det(T)$

Estaría agradecido por una guía o una pista.

Answer 1

Sea $\lambda_i$ el eigenvalor de $T$ entonces tenemos $\lambda_i\ge0$ y $T$ es diagonalizable es decir, existe una matriz invertible $P$ tal que $T=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^{-1}$ por lo tanto tenemos

$$\det(I+T)=\prod_{i=1}^n(1+\lambda_i)\ge1+\prod_{i=1}^n\lambda_i=1+\det(T)$$