Deje que $A$ sea una matriz real de orden $n$. Demuestre que $det(det(A))=(det(A))^{n}$

Question

Vi una solución al problema A es invertible, probar $adj(adj(A))=det(A)^{(n-2)}\times A$ en la que usaron la identidad:

$adj(adj(A))=((A^{-1})^{-1})\times det(A^{-1})\times(detA)^{(-1)}\times det(det(A))$

No entendí por qué $det(det(A))=(det(A))^n$. El resultado de det() es un escalar y $det(k)=k$ cuando $k$ es un escalar, así que si seguimos estas reglas, ¿no debería ser $det(det(A))=det(A)$? ¡Gracias a todos por su ayuda!

Answer 1

Primero necesitas resolver qué se entiende por $\det(\det(A))$. Dado que $\det(A)$ es un escalar, las formas principales de interpretar $\det(A)$ son como una matriz de $1 \times 1$, y por lo tanto, efectivamente un escalar, o como $\det(A) I$, donde $I$ es la matriz identidad de $n \times n$. En este último caso, $\det(A) I$ tiene $\det(A)$ en cada entrada diagonal y ceros en todas partes. Por lo tanto, $\det(\det(A)I)$ será el producto de sus $n$ entradas diagonales, todas iguales a $\det(A)$. Así

$\det(\det(A) I) = (\det(A))^n. \tag 1$