¿Cómo encontrar una f continua y positiva, tal que la EDO $x''(t)=f(x(t))$ no tenga una solución única dado cierto valor inicial?

Question

Como el título. Quiero encontrar una función continua $f$, tal que la EDO $x''(t)=f(x(t))$ tenga más de una solución cuando se dan los valores iniciales $x(0), x'(0)$.

Espero que $f(x)\neq0$ para cada $x\in\mathbb{R}$. Así que asumimos que $f$ siempre es positiva.

¿Es posible encontrar una?

Answer 1

Bajo las suposiciones declaradas, las soluciones de la ecuación son únicas.

Para ver esto, primero observe que sin pérdida de generalidad $x(0) = 0$, ya que $y(\cdot) = x(\cdot) - x(0)$ resuelve $y''(t) = f(y(t) + x(0))$, que es una ecuación del mismo tipo.

También observe que $x'$ es estrictamente creciente en el intervalo de existencia de la solución, y por lo tanto $x'$ puede cambiar de signo a lo sumo una vez. En particular $x(t)$ no puede ser constante en ningún intervalo, que es el mecanismo por el cual las soluciones de $x' = f(x)$ pueden ser no únicas.

Ahora reduzca el orden del problema de la manera habitual: Multiplicando por x'(t) e integrando, vemos que $$ \left( x'(t)\right)^2 = \left( x'(0)\right)^2 + 2F(x(t)) $$ donde $F(z) = \int_0^z f(\sigma) d \sigma$. En consecuencia, si por ejemplo $x'(0) < 0$, entonces $$ x'(t) = -\sqrt{(x'(0))^2 + 2 F(x(t))} $$ en el conjunto donde $x' < 0$. El lado derecho es continuamente diferenciable como función de $x(t)$, por lo tanto la solución es única en el conjunto $\{t \, : \, x'(t) < 0\}$. Este conjunto es un intervalo abierto.

De manera completamente similar, la solución es única en el conjunto $\{t \, : \, x'(t)> 0\}$.

Por lo tanto, queda por demostrar que si $x'' = f(x), \, x'(t_0) = 0, \, x(t_0) = x_0$, la solución es única en pequeños intervalos que están acotados por un lado por $t_0$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir nuevamente que $t_0 = 0, \, x_0 = 0$.

Ahora se puede utilizar el método habitual de separación de variables. Para mostrar por ejemplo que la solución es única en algún intervalo $(0, \delta)$, defina como antes para $z \ge 0$ $$ F(z) = \int_0^z \, f(\sigma) d \sigma, \, G(z) = \int_0^z \frac{d \sigma}{\sqrt{2 F(\sigma)}} $$ Tome en cuenta que $F(z) \ge \varepsilon z$ para algún $\varepsilon > 0$ para $0 < z < \delta$ y por lo tanto $G(z)$ está bien definida y estrictamente creciente en $z$. Como de costumbre, $\frac{d}{dt}G(x(t)) = 1$ y $G(x(0)) = 0$, lo que implica que $G(x(t)) = t$. Por lo tanto, $x(t)$ es única en $(0,\delta)$.