Todos los grupos distintos de $C_{13} \rtimes_{h} C_4$

Question

Describe todos los homomorfismos $h: C_4 \to Aut(C_{13})$, para cada h describe $C_{13} \rtimes_h C_4 $ en términos de generadores y relaciones. ¿Cuántos tipos de isomorfismos distintos de grupos de la forma $C_{13} \rtimes_h C_4 $ hay?

Entonces $C_4=\{1,y,y^2,y^3\}, C_{13=}\{1,x,...,x^{12}\}$, y $Aut(C_{13}) \cong C_{12}$

así que $h(y)$ debe tener órdenes 1, 2 y 4. Estos son $\phi_1, \phi_5, \phi_8, \phi_{12}$ (donde $\phi_a(x)=x^a$). Llámelos $h_0, h_1, h_2, h_3$ respectivamente. Luego obtuve:

$C_{13} \rtimes_{h_0} C_4 = C_{13} \times C_4$

$C_{13} \rtimes_{h_1} C_4 = $, con $X=(x,1), Y=(1,y)$

$C_{13} \rtimes_{h_2} C_4 = $

$C_{13} \rtimes_{h_3} C_4 = \= D_{26}^*$ (grupo Diédrico Binario)

¿Estoy en lo correcto hasta ahora?

Pero no estoy seguro sobre la última parte de la pregunta. Todos parecen bastante distintos para mí... ¿De hecho hay 4 grupos distintos de $C_{13} \rtimes_{h} C_4 $??

Answer 1

Los segundo y tercer grupos en tu lista son isomórficos. Si $YX=X^5Y$, entonces $Y^{-1}X = X^8Y^{-1}$, por lo que se induce un isomorfismo por medio del mapeo $X \mapsto X$, $Y \mapsto Y^{-1}.

Como regla general, hay exactamente un tipo de isomorfismo de productos semidirectos $C_a \rtimes_{\phi} C_b$ para cada ${\rm Im}(\phi)$ posible.