Las matrices de densidad reducidas para fermiones libres son térmicas

Question

Muchos trabajos recientes estudian el entrelazamiento en los estados propios de los hamiltonianos libres fermiónicos (normalmente en una red) utilizando el supuesto básico de que las matrices de densidad reducidas son térmica (por ejemplo Peschel 2003 ). Según entiendo, el teorema que necesitamos para proceder al cálculo del entrelazamiento es el siguiente:

Consideremos un estado fermiónico, puro o mixto, que cumple el teorema de Wick (es decir: todas las funciones de N puntos pueden expresarse a partir de la función de correlación de 2 puntos). Entonces, la matriz de densidad reducida para un bloque puede expresarse siempre como $\rho_B \propto \exp(-\beta H)$ , donde $H=\sum_k c_k d_k^\dagger d_k$ . El $d_k$ y $d^\dagger_k$ son operadores fermiónicos adecuados que pueden expresarse como combinaciones lineales de los originales.

La referencia dada es a Gaudin 1960 . Pero ese artículo sólo contiene el teorema inverso: si una matriz de densidad fermiónica es térmica, entonces se sigue el teorema de Wick.

Así que, mi pregunta principal: ¿Alguien sabe de una prueba de este teorema?

Además: Supongo que este teorema está relacionado con el teorema de termalización de la QFT en espacios-tiempo curvos. ¿Es esto cierto?

Answer 1

Esto será un esbozo, pero creo que la terminación de una prueba completa es sencilla.

En primer lugar, la conclusión del teorema es que $\rho=C\exp(-\beta H)$ donde $H=\sum\dots$

Esta última afirmación puede reformularse diciendo que $$ H = \sum_{K,L} c_{KL} d^\dagger_L d_L $$ es decir, el hamiltoniano es la función bilineal más general de los operadores fermiónicos originales (preservando el número de excitaciones, es decir, conteniendo un operador con daga y otro sin ella). Su forma no es más que la diagonalización de la mía.

Sin embargo, la primera afirmación es bastante trivial: siempre se puede escribir $\rho$ como el exponencial de algunos operador $L=-\beta H$ : $L$ es sólo el logaritmo de $\rho$ que es calculable (al menos para la mayoría de $\rho$ ).

Ahora, la suposición del teorema dice algo sobre todo $N$ -funciones de punto. En particular, aborda las funciones de 2 puntos. De esas funciones de 2 puntos, se puede extraer el coeficiente $c_{KL}$ del operador $H$ relacionado con $\log(\rho)$ . Las funciones de 2 puntos que tienen 0 o 2 operadores dagerados en lugar de 1 deben desaparecer idénticamente, de lo contrario se viola inmediatamente el teorema de Wick, contradiciendo los supuestos del teorema que queremos demostrar.

El teorema inverso te dice que la matriz de densidad térmica conservará el teorema de Wick. Lo único adicional que tienes que notar es que si el logaritmo $L$ o $H$ no era bilineal en los operadores, es decir, si había términos adicionales en una expansión de Taylor (que siempre termina para un número finito de operadores fermiónicos), eso modificaría las funciones de punto superior, y como el teorema de Wick determina inequívocamente todas las funciones de punto superior en términos de funciones de 2 puntos, se violaría el teorema de Wick.

El teorema de termalización (teorema de Fulling-Davies) que conozco dice que el estado de vacío de una teoría cuántica de campos puede reescribirse en términos de los espacios de Hilbert de los espacios de Rindler izquierdo y derecho, como un estado enredado de tipo térmico (con coeficientes de Boltzmann).

No está claro por qué crees que este teorema de termalización tiene alguna relación con una demostración del teorema de Wick. La estructura de Wick de $N$ -funciones puntuales está siempre ligada a la termalidad, debido al teorema con el que empezamos, pero este vínculo no parece tener nada que ver con la descomposición en espacios de Rindler. Así que creo que tu suposición no es correcta.