¿Un producto de irreducibles mónicos con grado que divide a $n$ tiene raíces no repetidas?

Question

Es bien sabido que si $F_d(x)$ es el producto de polinomios irreducibles mónicos en $\mathbb{Z}/(p)[x]$ de grado $d$, entonces $$ x^{p^n}-x=\prod_{d\mid n}F_d(x). $$

También se sabe que $x^{p^n}-x$ no tiene raíces repetidas, como se puede ver mediante diferenciación formal. Pero, ¿es posible ver directamente que $\prod_{d\mid n}F_d(x)$ no tiene raíces repetidas sin usar el teorema anterior?

Answer 1

Sí. Es suficiente mostrar que ningún polinomio irreducible sobre $\mathbb F_p$ tiene una raíz repetida y que ningún par de polinomios irreducibles tiene una raíz en común.

Sea $f \in \mathbb F_p[X]$ un polinomio irreducible. Si $x \in \overline{\mathbb F_p}$ es una raíz repetida de $f$ entonces también es raíz de $f'$. Dado que $f$ es irreducible, es el polinomio mínimo de $x$, por lo tanto divide a $f'$. Pero $f'$ tiene un grado menor que $f$, por lo tanto $f' = 0$. Esto significa que $f$ involucra solo potencias de $p$ de $X$, es decir, $f(X) = g(X^p)$ para algún $g \in \mathbb F_p[X]$. Pero $g(X^p) = g(X)^p$ en $\mathbb F_p[X]$, lo cual contradice la irreducibilidad de $f$.

Ahora sean $f,g \in \mathbb F_p[X]$ dos polinomios irreducibles mónicos distintos con una raíz en común $x$. Entonces tanto $f$ como $g$ son el polinomio mínimo de $x$, y dado que ambos son mónicos de hecho son iguales.