Generando variables aleatorias causalmente dependientes

Question

Estoy tratando de generar conjuntos de variables aleatorias causalmente conectadas y comencé haciendo esto con un enfoque de Monte Carlo.

La línea base es un histograma medido de 2 dimensiones del cual extraigo valores aleatorios.

En mis ejemplos concretos, estas variables son aceleración $\bf{a}$ y velocidad $\bf{v}$ - así que obviamente $v_{i+1} = v_{i} + a_i * dt$ debe cumplirse.

Mi enfoque actualmente es algo ingenuo:

Comienzo con algún $v_0$. Luego genero un $a_0$ aleatorio de acuerdo con la probabilidad medida de $\bf{a}$ para el valor de $v_0$. Usando este $a_0$ puedo calcular $v_1$ y todo el procedimiento comienza de nuevo.

Así que cuando verifico las aceleraciones generadas $\bf{a}$ en los rangos de $\bf{v}$ todo está bien. Pero obviamente esto no respeta en absoluto la distribución marginal de $\bf{v}$.

Estoy algo familiarizado con los métodos básicos de Monte Carlo, aunque me falta algo de conocimiento teórico como podrás imaginar. Estaría bien si las dos variables estuvieran solo conectadas por alguna matriz de correlación, pero la conexión causal entre las dos me causa problemas.

No logré encontrar un ejemplo para este tipo de problema en algún lugar, tal vez esté buscando en Google los términos equivocados. Estaría satisfecho si alguien me pudiera señalar algo de literatura/ejemplo o un método prometedor para abordar esto.

(O decirme que no es realmente posible dado mis entradas - eso es lo que supongo ocasionalmente...)

EDITAR:

El objetivo actual de todo este procedimiento: Tengo un conjunto de mediciones $\bf{a}$ y $\bf{v}$, representadas en un histograma bidimensional $N(a,v)$. Dado esta entrada, me gustaría generar conjuntos de $\bf{a_r}$ y $\bf{v_r}$ aleatorios que reproduzcan la distribución medida.

Answer 1

Al parecer, para reproducir la distribución conjunta $\rho(a, v)$, debes seleccionar un nuevo $a$ no solo en función de $v$, sino también en función del antiguo $a$:

$a_{i+1} \sim \rho'(a_{i+1}|a_i, v_i)$

La pregunta (a la que aún no conozco la respuesta) es cómo encontrar $\rho'$ que produzca $\rho$.

UPD: Debes resolver la siguiente ecuación integral:

$$\rho(a, v) = \int da' \rho'\left(a|a', v-{a+a'\over 2}\Delta t\right) \rho(a', v-{a+a'\over 2}\Delta t)$$

Aproximando la función $\rho$ con un histograma, conviertes esto en un sistema de ecuaciones lineales:

$$\cases{ \rho(a, v) = \sum_{a'} \rho'\left(a|a', v-{a+a'\over 2}\Delta t\right) \rho(a', v-{a+a'\over 2}\Delta t) \\ \sum_a \rho'\left(a|a', v'\right) = 1}$$

Este sistema está subdeterminado. Puedes aplicar una penalización de suavidad para obtener una solución.

Answer 2

¿El dato del GPS no contiene la posición $p$? Habría pensado que, no solo $v_{i+1}$ depende de $v_{i}$ y $a_{i}$ sino que también $a_{i+1}$ dependería de $p_{i}$. Considera: en cualquier red vial hay cuellos de botella, límites de velocidad, señales, intersecciones, pendientes pronunciadas, etc. que tienen una ubicación geográfica. Por lo tanto, algo como un conjunto (distribución) definido por:

$F_{a} = Pr ( A_{i+1} \le a_{i+1}\ |\ a_{i},v_{i},p_{i} )$
$v_{i+1} = v_{i} + a_{i}dt$

Para tal conjunto, la dificultad radicará en la naturaleza de los datos. Es probable que la verdadera población sea asimétrica, no lineal (a trozos) y pueda no tener momentos definidos. Estas características pueden no ser evidentes en la muestra que tienes a mano.

Como @whuber ha indicado, el problema, es decir, lo que estás tratando de producir, aún no parece estar completamente y claramente definido. No está claro si estás interesado en el conjunto o más en los individuos.