Maurer-Cartan 1-formulario

Question

Alguien me puede ayudar con lo siguiente? Deje $\rho$ ser el derecho-invariante de Maurer-Cartan 1-formulario

$$\rho = dg\ g^{-1}$$

Quiero mostrar que la ecuación MC

$$d\rho - \rho \wedge\rho = 0$$

sostiene.

Así puedo calcular

$$d\rho = -dg \wedge d(g^{-1}) = dg\wedge g^{-1}dg\ g^{-1}$$

Por qué se me permite tomar la $g^{-1}$ a través de la cuña para obtener el resultado correcto? Ingenuamente parece que esto debe estar mal, ya que la cuña es esencialmente un conmutador de matrices. O es mi notación demasiado simplista.

Soy consciente de que puedo conseguir este resultado más general, teniendo en cuenta la estructura de la ecuación de derecho-invariante formas, pero lo ideal sería que me gustaría hacer este cálculo directo riguroso, si es posible!

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

La cuestión se reduce a probar que:

$$ \omega g\wedge \phi = \omega\wedge g\phi ,$$

donde $\omega$ $\phi$ son Mentira álgebra valores de formas diferenciales, y g es un grupo de operación.

Si (convenio de sumación de Einstein) $\omega=\omega_i\,dx^i$ $\phi=\phi_i\,dx^i$ donde $\omega_i, \phi_i$ son no-commuting "matrices" (Mentira álgebra elementos), entonces:

$$ \omega g\wedge \phi = (\omega_i\,g\,\phi_j)\,dx^i\wedge dx^j = \omega\wedge g\phi .$$

Dentro de los paréntesis de arriba hay una "matriz" del producto. Como se puede ver, los componentes de las formas, que son en la Mentira de álgebra, no son intercambiables. El $dx^i$ son los mismos que para los habituales de formas diferenciales.