Para ser específicos, consideremos el potencial de doble pozo. Si estudiamos la mecánica cuántica, es decir, una partícula en dicho potencial, entonces sabemos que no hay ruptura espontánea de simetría sino una división de niveles de energía. El estado fundamental es presumiblemente una superposición de los mínimos locales. Ahora, si consideramos un campo cuántico en una caja con volumen finito $V$, aún no hay RSE y el estado fundamental también es una superposición de los mínimos locales. Si ahora tomamos $V\rightarrow \infty$, entonces sabemos que debe haber RSE. Me preguntaba cómo el estado de superposición de los dos mínimos se reduce a uno de ellos a medida que tomamos el límite.
Respuesta
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¿cómo el estado de superposición de los dos mínimos se reduce a uno de ellos a medida que tomamos el límite?
Podemos retener el estado de vacío simétrico al tomar el límite, y el resultado está matemáticamente bien definido (si la simetría es discreta). El problema es que el resultado viola un principio físico, es decir, la propiedad del cluster.
A grosso modo, la propiedad del cluster dice que el valor esperado del vacío de un producto de campos, como $\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$, debe factorizarse en un producto de valores esperados del vacío, como $\langle 0|\phi(x)|0\rangle\,\langle 0|\phi(y)|0\rangle$, a medida que los puntos $x,y$ se separan lo suficiente entre sí. Los estados de vacío con ruptura espontánea de simetría tienen esta propiedad, pero el estado de vacío simétrico no. Ambos están bien definidos (para SSB discreta), y ambos tienen la misma energía mínima, pero solo los vacíos de SSB cumplen con la propiedad del cluster.
Para hacer cumplir esta propiedad al tomar el límite de volumen infinito, podemos agregar un pequeño término de ruptura explícita de simetría a la acción, luego tomar el límite de volumen infinito y luego eliminar el término de ruptura explícita de simetría.
Estas referencias explican cómo la propiedad del cluster selecciona un estado de vacío de SSB:
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En el contexto de sistemas de espín (como el modelo de Ising): Sección 23.3, "Parámetro de Orden y Propiedades de Cluster", del libro de Zinn-Justin Teoría Cuántica de Campos y Fenómenos Críticos.
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En el contexto de QFT: Sección 19.1 en Weinberg, La Teoría Cuántica de Campos, Volumen II.
El argumento de Weinberg se revisa a continuación.
Por qué el vacío simétrico viola la propiedad del cluster
Supongamos que la simetría en cuestión es una simetría $\mathbb{Z}_2$ (potencial de pozo doble).
Sea $|{v}\rangle$ un candidato para un estado de vacío. En particular, $|{v}\rangle$ debe tener momento nulo, lo que implica $$ \newcommand{\la}{\langle} \newcommand{\ra}{\rangle} \la\psi|\phi(x)|{v}\ra = \la\psi|\phi(0)|{v}\ra. \tag{1} $$ Ahora consideremos la función de correlación $\la{v}|\phi(x)\phi(y)|{v}\ra$. Podemos escribir esto como $$ \la{v}|\phi(x)\phi(y)|{v}\ra = \la{v}|\phi(x)I\phi(y)|{v}\ra \tag{2} $$ donde el operador identidad $I$ puede escribirse $$ I = \sum_{k=1,2}|{v}_k\ra\,\la{v}_k| +\sum_n \int dp\ |n,p\ra\,\la n,p| \tag{3} $$ donde $|{v}_{1,2}\ra$ es cualquier base ortonormal del conjunto de estados de energía más baja y donde el término de suma/integral tiene en cuenta todos los demás estados ortogonales a estos. El argumento $p$ es el momento, y $n$ son todos los demás grados de libertad. Inserte (3) en el lado derecho de (2) y use la simetría de traslación para obtener \begin{align} \la{v}|\phi(x)\phi(y)|{v}\ra &= \sum_{k=1,2}\la{v}|\phi(0)|{v}_k\ra \,\la{v}_k|\phi(0)|{v}\ra \\ &+\sum_n \int dp\ e^{ip(x-y)} \la{v}|\phi(0)|n,p\ra\,\la n,p|\phi(0)|{v}\ra. \tag{4} \end{align} Ahora supongamos que las cantidades en el integrando son suaves lo suficiente como para que la integral tienda a cero cuando $|x-y|\to\infty$, lo que deja \begin{align} \lim_{|x-y|\to\infty}\la{v}|\phi(x)\phi(y)|{v}\ra &= \sum_{k=1,2}\la{v}|\phi(0)|{v}_k\ra \,\la{v}_k|\phi(0)|{v}\ra. \tag{5} \end{align} La matriz $2\times 2$ con componentes $$ M_{jk} := \la{v}_j|\phi(0)|{v}_k\ra \tag{6} $$ no necesariamente es diagonal, pero es hermética y por lo tanto puede diagonalizarse eligiendo una nueva base $|{v}_{1,2}\ra$ si es necesario. La ecuación (5) muestra que la propiedad del cluster se satisface si y solo si $|{v}\ra$ es uno de los estados básicos en una base que diagonaliza $M$. La parte "si y solo si" asume que los autovalores de $M$ son distintos y no nulos, lo que requiere que $\phi$ no sea invariante bajo la simetría en cuestión (debe ser un "parámetro de orden").
En resumen, esto muestra que la propiedad del cluster se cumple solo para estados que diagonalizan la matriz (6), lo que a su vez debe ser estados de SSB si los autovalores de $M$ son distintos y no nulos.
