Suponga que se eligen con reemplazo $n$ enteros del conjunto $\{1,2,3,\cdots, N\}$. ¿Cuál es la probabilidad de que formen una secuencia no decreciente, es decir, $a_1\leq a_2\leq \cdots \cdots \leq a_n$ donde $a_i$ es el $i^{th}$ número elegido?
La respuesta es $\frac{{N+n-1 \choose n}}{N^n}$, pero no puedo ver por qué.
Este es un argumento clásico de estrellas y barras. Considere la colección de todas las secuencias que consisten en $n$ símbolos idénticos * y $N-1$ símbolos idénticos $\vert$. Existe una correspondencia uno a uno entre tales secuencias y el conjunto de secuencias no decrecientes de longitud $n$ con símbolos $\{1,2,\ldots,N\}$.
¿Cómo?
Permita que el "símbolo actual" sea 1. Piense en * como denotando "escribir el símbolo actual" y $\vert$ como denotando "aumentar el símbolo actual en 1".
Así, por ejemplo: si $N=5$ y $n=4$, podría tener la secuencia $*||*|**|$. Esto correspondería a la secuencia $1,3,4,4$.
Dado que estos dos conjuntos están en correspondencia uno a uno, tienen el mismo tamaño. Pero es fácil contar el número de arreglos de estrellas y barras: de $N+n-1$ ubicaciones posibles en la secuencia, necesita elegir cuáles $n$ son estrellas.
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