Ecuación de una línea usando parámetros $\theta$ y $\rho$ o $r$

Question

Tengo curiosidad por cómo se derivan las dos siguientes ecuaciones de una línea:

$$x\sin(t)-y\cos(t)+p=0\tag{1}\label{1}$$

donde $t$ es el ángulo que la línea forma con el eje $+x$ y $p$ es la distancia más corta de la línea al origen (longitud del vector desde el origen hasta la línea ortogonalmente).

El valor de $t$ se obtiene de $\arctan(y/x)$ y el valor de $p$ se puede encontrar conociendo un punto $(x,y)$ en la línea después de encontrar $t$.

Otra ecuación de la línea es:

$$x\cos(t)+y\sin(t)=r\tag{2}\label{2}$$

Básicamente es la misma idea. $r$ es la distancia más corta de la línea al origen, que nuevamente es la longitud de un vector que apunta ortogonalmente a la línea.

La Pregunta:

Las dos ecuaciones son diferentes pero similares. No estoy seguro de cómo se derivan. He intentado derivar la ecuación \eqref{2} a continuación, pero estoy atascado con respecto a la derivación de la ecuación \eqref{1}

Intenté derivar la segunda ecuación de la siguiente manera (necesito verificación):

El producto punto de dos vectores es $0$ si y solo si son perpendiculares. Dada una línea que contiene dos puntos señalados por dos vectores $\langle x,y\rangle$ y $\langle x_0,y_0\rangle$.

El vector de $\langle x_0,y_0\rangle$ a $\langle x,y\rangle$ es el vector $\langle x-x_0,y-y_0\rangle$.

Podemos usar el círculo unitario para definir un vector unitario, $n$, (contenido en el círculo unitario) normal a nuestra línea,

$$\langle nx,ny\rangle=\langle\cos t,\sin t\rangle$$

Si un punto $(x,y)$ está en nuestra línea, debe satisfacer la ecuación $\langle\cos t,\sin t\rangle*\langle x-x_0,y-y_0\rangle=0$, donde $*$ es el producto punto.

Multiplicando, obtenemos:

$$\langle\cos t,\sin t\rangle*\langle x-x_0,y-y_0\rangle=x\cos t-x_0\cos t+y\sin t-y_0\sin t=x\cos t+y\sin t-(x_0\cos t+y_0\sin t)$$

Sea $r=x_0\cos t+y_0\sin t$. Entonces la ecuación se puede reescribir como:

$$x\sin t+y\cos t=r$$

donde $r$ es la distancia más corta del origen a la línea, es decir, la longitud del vector que apunta desde el origen a la línea ortogonalmente. ¿Es correcto?

Answer 1

Deje que el pie de la normal desde el origen tenga coordenadas $(p\cos t,p\sin t)$. El parámetro $t$ es el ángulo de dirección de la normal, mientras que $p$ es la distancia del origen a la recta.

Entonces usted expresa que el segmento desde el pie de la normal hasta cualquier punto en la recta es ortogonal a la normal,

$$(x-p\cos t)\cos t+(y-p\sin t)\sin t=0$$ o

$$\color{green}{x\cos t +y\sin t=p}.$$

Si en su lugar parametriza con el ángulo de dirección de la línea en sí, $t'=t+\pi/2$ y

$$-x\sin t'+y\cos t'=p,$$ también escrito

$$\color{green}{x\sin t'-y\cos t'+p=0}.$$

Answer 2

CONSEJO:

Se recomienda utilizar las primeras letras del conjunto del alfabeto como constantes y las últimas letras como variables.

Uno necesita entender sólo una derivación y qué significan las constantes en la forma polar/normal de una línea recta.

El boceto simple muestra dos componentes de $ p = px+ py $ como la suma de segmentos proyectados verdes y marrones en términos de $x,y,\alpha$.

En la Ecuación (2), $t=\alpha $ es el ángulo hecho con la normal en la línea recta con la longitud de pedal/normal más corta $p$.

$$ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p $$

es rotado a través de $\pi/2$ cuatro veces para obtener 4 líneas formando un cuadrado alrededor del origen... incluso si $t=\alpha $ está fijo para una sola línea.

$$x \sin \alpha - y \cos \alpha = p, $$

$$-x \cos \alpha - y \sin \alpha = p, $$

y

$$- x \sin \alpha + y \cos \alpha = p $$

Esto también es igual a aplicar la matriz de rotación estándar a través de $\pi/2,$ cuatro veces.