¿Cómo mostramos que para fermiones sin masa, Helicidad y Quiralidad se alinean?

Question

El operador de Helicidad de una representación del grupo de Lorentz se da por $$h = \varepsilon_{ijk}S^{jk}\frac{P^i}{|P|}$$ donde $S^{\mu\nu}$ son los generadores del grupo de Lorentz.

En la representación $(\frac{1}{2},0)\oplus(0,\frac{1}{2})$, para un espinor de Dirac sin masa con momento puramente en la dirección $+z$, el operador de helicidad se convierte en:

$$h=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll} \sigma_z & 0 \\ 0 & \sigma_z \end{array}\right)$$ Lo cual divide nuestro espacio de espinors en dos subespacios propios: $$ \psi = \psi_+ + \psi_- \quad \rightarrow \quad \psi_+ = \left(\begin{array}{l} a \\ 0 \\ b \\ 0 \\ \end{array}\right), \quad \psi_- = \left(\begin{array}{l} 0 \\ c \\ 0 \\ d \\ \end{array}\right)$$

También tenemos el operador de Quiralidad $\gamma^5$, que cuando se trabaja en la base Quiral, también es diagonal: $$\gamma^5=\left(\begin{array}{ll} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{array}\right)$$ Lo cual nuevamente divide nuestro espacio de espinors en $2$ subespacios propios $$ \psi = \psi_L + \psi_R \quad \rightarrow \quad \psi_L = \left(\begin{array}{l} a \\ c \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right), \quad \psi_R = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ b \\ d \\ \end{array}\right)$$ Claramente, si solo permitimos casos cuando $c = b = 0$, entonces estos operadores son iguales en este subespacio (hasta una constante), pero esto no parece ser necesariamente el caso.

¿Qué es lo que me falta para poder decir que para fermiones sin masa, la Helicidad y Quiralidad son lo mismo?

Answer 1

Necesitas una entrada de dinámica. El hamiltoniano de Weyl para un fermión diestro (cineridad positiva) es $$ H= {\boldsymbol \sigma}\cdot {\bf p} $$ así que con ${\bf p}=(0,0,p)$ los estados de energía positiva tienen su espín como un autovector +1 de $\sigma_z$, es decir, su espín es
paralelo al momento (helicidad positiva). Las energías negativas corresponden a antipartículas y tienen helicidad negativa.

Answer 2

Mike Stone emocionó mi proceso de pensamiento y me hizo darme cuenta de que los espinors físicos deben obedecer la ecuación de Dirac (sin masa). Para la configuración específica en cuestión, esto lleva a las condiciones de que: $$ \begin{split} \sigma_z\>\psi_L &= I_2 \>\psi_L \\ \sigma_z\>\psi_R &= -I_2 \>\psi_R \end{split} $$ Donde estoy abusando de la notación para hacer que $\psi_{L/R}$ represente los espinors de Weyl de $2$ componentes. Esto fuerza la condición muy específica de que $c=b=0$ para que los espacios propios de los operadores en los espinors físicos coincidan.