¿Es $M'$ bajo las siguientes condiciones una subvariedad simpléctica?

Question

Sea $(M, \omega)$ una variedad simpléctica, $M' \subset M$ una subvariedad de $M$. Supongamos que para cada $x \in M'$, existe un subespacio simpléctico $V_x$ de $T_xM$ tal que $T_xM = T_xM' \oplus V_x$ y $T_xM'$ es simétrico perpendicular a $V_x$.

¿Podemos deducir de esto que $M'$ también es simpléctico?

Mi motivación para hacer esta pregunta es entender la demostración del teorema del corte transversal (teorema 3.3 en el artículo No abelian convexity by symplectic cuts) que parece utilizar un argumento similar a lo que estoy preguntando!

Answer 1

Recordemos de álgebra lineal simpléctica: si $W\subset(V,\omega)$ es un subespacio simpléctico, entonces también su ortogonal simpléctico $W^{\omega}$ es un subespacio simpléctico. De hecho, $$ (W^{\omega})^{\omega}\cap W^{\omega}=W\cap W^{\omega}=\{0\}, $$ usando en la última igualdad que $W\subset(V,\omega)$ es simpléctico.

Por suposición tienes $T_{x}M'=(V_{x})^{\omega}$, donde $V_{x}$ es un subespacio simpléctico de $T_{x}M$. Por lo tanto, también $T_{x}M'$ es un subespacio simpléctico, y por lo tanto $M'$ es una subvariedad simpléctica de $(M,\omega)$.