¿Cuál es mi error en esta integración??? $\int \sqrt{3-2x-x^2} dx$

Question

Así es como estoy tratando de integrar esta función:

$$\begin{align*} \int \sqrt{3-2x-x^2}\, dx &= \int \sqrt{4-(x+1)^2}\, dx \\ &= \int \sqrt{2^2-(x+1)^2}\, dx \end{align*}$$ Aquí hago la sustitución:

$$u=x+1$$ $$du=dx$$

Entonces la integral ahora es:

$$\int \sqrt{2^2-u^2}\, du$$

Hago una sustitución trigonométrica pensando en un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es $2$, el lado adyacente es $u$, el lado opuesto es $\sqrt{2^2-u^2}$, y el ángulo se llama $\theta$.

$$\sin(\theta)= \frac{\sqrt{2^2-u^2}}{ 2}$$ $$\bbox[2px,border:2px solid red] { 2\sin(\theta)= \sqrt{2^2-u^2}\qquad }$$

$$\frac{u}{2} =\cos(\theta)$$ $$u=2 \cos(\theta)$$ $$\bbox[2px,border:2px solid red] {du=-2 \sin(\theta)\,d\theta\qquad }$$

Entonces escribo la integral como: $$\begin{align*} \int 2\sin(\theta)(-2)\sin(\theta)\,d\theta &= \int (-4)\sin(\theta)\sin(\theta)\,d\theta \\ &= \int (-4){\sin}^2(\theta)\,d\theta \\ &= (-4)\int {\sin}^2(\theta)\,d\theta \\ &= (-4)\int \frac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\,d\theta \\ &= (-4)\frac{1}{2}\int (1-\cos(2\theta))\,d\theta \\ &= (-2)\int (1-cos(2\theta))\,d\theta \\ &= (-2)\left[\int d\theta-\int \cos(2\theta)\,d\theta \right]\\ &= (-2)\left[\theta-\int \cos(2\theta)\,d\theta \right]\\ &= (-2)\left[\theta-\frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]\\ &= \sin(2\theta) -2\theta \end{align*}$$ Y como $\cos(\theta) = u/2$, sé que $\theta =\arccos(u/2)$.

Por lo tanto tengo:

$$\sin(2\arccos(u/2)) -2\arccos(u/2)$$

Según mi primera sustitución $u=x+1$ así que el resultado final es:

$$\bbox[2px,border:2px solid red] {\sin\left(2\arccos\left(\frac{x+1}{2}\right)\right) -2\arccos\left(\frac{x+1}{2}\right) + constante }\qquad$$

¿Alguien me puede ayudar? ¡No entiendo qué estoy haciendo mal. ¡Gracias!

Answer 1

La respuesta es correcta, si deseas que coincida con la que produce Wolfram, se debe hacer lo siguiente: $$\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)=2\frac{1}{2}\sqrt{2^2-u^2}\frac{u}{2}=\frac{u}{2}\sqrt{4-u^2}\\ u\to x+1\\ \sin(2\theta)=\frac{1}{2}(x+1)\sqrt{3-2x-x^2}$$ Y para el segundo sumando $$\arccos(u/2)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(u/2)\\ 2\arccos(u/2)=\pi-2\arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ En conjunto (ocultando $\pi/2$ en la constante): $$\int \sqrt{3-2x-x^2} dx = \frac{1}{2}(x+1)\sqrt{3-2x-x^2}+2\arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+const$$