Transformada de Fourier de una función no estacionaria

Question

Actualmente me encuentro un poco atascado con la transformada de Fourier de una función $w(z)$ que está definida por partes y discontinua en $z = 0:

$$w\left(z\right) = \begin{cases} -\gamma_1 e^{-\gamma_{1}z} & z > 0 \\ \gamma_2 e^{\gamma_{2}z} & z < 0\end{cases}$$ con $\gamma_i \geq 0$.

En un intento ingenuo, calculé lo siguiente: $$W \left( k \right) = \int_{-\infty}^{\infty}w(z) e^{-\mathrm{i}k z}dz$$

$$= -\gamma_{1}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(\gamma_{1}+\mathrm{i}k\right)z}dz+\gamma_{2}\int_{-\infty}^{0}e^{\left(\gamma_{2}-\mathrm{i}k\right)z}dz = -\frac{\gamma_{1}}{\left(\gamma_{1}+\mathrm{i}k\right)}+\frac{\gamma_{2}}{\left(\gamma_{2}-\mathrm{i}k\right)}$$

Pero casi estoy seguro de que calculé mal ya que en algún lugar debería ocurrir una contribución $\delta$ proporcional a $\left(\gamma_2 - \gamma_1 \right)\cdot\delta(0)$ como en el caso de la función escalón de Heaviside.
Por lo tanto:

¿Dónde está mi desbordamiento cerebral en el cálculo dado?

Gracias de antemano
Sinceramente

Robert

PD.: Aunque no sea exactamente así, marqué esta pregunta como tarea ya que está a este nivel.

Answer 1

No hay desbordamiento cerebral. La parte $\delta(x)$ en el cálculo de Heaviside proviene del hecho de que la función Heaviside no decae en el infinito. A medida que $x\to +\infty$, tienes que $H(x)$ está limitada por debajo por una constante.

El hecho de que tu función tenga un peso que disminuye exponencialmente elimina ese problema. (Cuando el peso $\gamma_i = 0$, por definición tu función también es cero, por lo que tiene transformada de Fourier cero).

La clave a recordar al mirar las transformadas de Fourier: intercambia las propiedades de descomposición en el infinito con la suavidad de una función. Eso es (hablando moralmente), si tu función es suave, entonces su transformada de Fourier tendrá una rápida descomposición cerca del infinito. Si tu función tiene una descomposición exponencial, entonces su transformada de Fourier será suave.

Que tu función inicial tenga una discontinuidad de salto en el origen se refleja así en la descomposición aproximada de $1/k$ (lenta) de la transformada de Fourier (análoga al segundo factor en la transformada de Fourier de la función Heaviside en tu enlace).

(También ver regla 205 en la lista de Wikipedia.)

Answer 2

Depende de si deseas calcular $\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - ikz} w(z)dz}$ o $\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - ikz} dw(z)}$.

Aclaración adicional: Define $w(0)=-\gamma_1$, de manera que $w$ es continua por la derecha con límites por la izquierda. Dado que $w$ tiene una discontinuidad de salto de tamaño $-\gamma_1 - \gamma_2$ en $z=0$, y dado que $e^{-ik0}=1$, $$\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - ikz} dw(z)} = \int_{ - \infty }^0 {e^{ - ikz} w(z)dz} + (-\gamma_1 - \gamma_2) + \int_{ 0 }^\infty {e^{ - ikz} w(z)dz}.$$

Answer 3

Deberías preguntarte qué sucede con la evaluación de la primitiva integral en el infinito (cuando se aplica la regla de Barrow) si $\gamma=0$. Por ejemplo, ¿qué sucede con $e^{-(\gamma_1 + ik)z}$ evaluado en $z=\infty$ si $\gamma_1=0?

Ese caso debe tratarse con cuidado. Pero, en tu caso, no hay problema, porque entonces tu función es cero y el resultado está bien. Entonces, creo que tu resultado es correcto (pero debes tener cuidado y tratar los casos $\gamma_i=0$ por separado).

Sería diferente si, por ejemplo, tu segunda pieza de función hubiera sido $e^{\gamma_2 z}$ en lugar de $\gamma_2 e^{\gamma_2 z}$