Límite de la integral de la función evaluada en $x^n$

Question

Este es un problema de Problemas en Análisis Matemático: Integración de Kaczor y Nowak:

Para una función $f$ continua en $[0,1]$, encuentra $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x^n)dx.$$

Esta es la solución dada:

Sea $0<\epsilon<1$. Luego $$\int_0^1f(x^n)dx=\int_0^{1-\epsilon}f(x^n)dx+\int_{1-\epsilon}^1f(x^n)dx$$ y, por el primer teorema del valor medio, $$\int_0^{1-\epsilon}f(x^n)dx=f(\xi^n)(1-\epsilon,\quad\text{donde }0\le\xi\le(1-\epsilon).$$ Así $$\lim_{n\to\infty}f(0)(1-\epsilon).$$ Además, $$\left|\int_{1-\epsilon}^1f(x^n)dx\right|\le M\epsilon,\quad\text{donde }M=\sup\lbrace|f(x)|:x\in[0,1]\rbrace.$$ Consecuentemente, $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x^n)dx=f(0).$$

Entiendo todo excepto la última parte, ¿cómo concluimos que $\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x^n)dx=f(0)$?

De todos modos, creo que podemos usar el mismo argumento para mostrar que $\lim_{n\to\infty}\int_{1-\epsilon}^1f(x^n)dx=f(0)\epsilon$. Si esto es correcto, ¿por qué no elegimos $\epsilon=\frac12$ desde el principio, para hacerlo más simple?

Answer 1

Dado que $\xi \in [0,1)$, entonces $\xi^n \to 0$. Por lo tanto, $f(\xi^n) \to f(0)$ ya que $f$ es continua.

Una prueba alternativa: Dado que $f$ es continua en $[0,1]$, entonces $f$ es uniformemente continua en $[0,1]$. Dado que $f$ es uniformemente continua, podemos intercambiar la integral y el límite:

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_0^{1} f(x^n) dx &= \int_{0}^1 \lim_{n \to \infty} f(x^n)dx \\ &= \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{1 - \epsilon} \lim_{n \to \infty}f(x^n) dx \\ &= \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{1 - \epsilon} f(0) dx \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}(1 - \epsilon) f(0) \\ &= f(0). \end{align}$$