Caracterización de polinomios homogéneos sobre R

Question

Estoy tratando de demostrar lo siguiente:

Sea $P(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]$, y supongamos que

$P(a_1, \dots, a_n) = 0 \implies P(ta_1, \dots, ta_n) = 0 \text{ } \text{ } \forall t \in \mathbb{R}$

Entonces $P(x_1, \dots, x_n)$ es homogéneo.

¡Gracias!

Answer 1

Puedes escribir $f$ como la suma de polinomios homogéneos, digamos $$f=f_d+f_{d-1}+\cdots+f_0$$ donde $\deg f_m=m$, y $d=\deg f$. Ahora, denotando $a=(a_1,\ldots,a_n)$, si $f(a)=0$, implica que $f(ta)=0$, es decir: $$f(ta)=t^df_d(a)+t^{d-1}f_{d-1}(a)+\cdots+tf_1(a)+f_0(a)=0$$ como esto es cero para todos los $t$, entonces $f_n(a)=0$ para todos los $n$. Esto nos da una idea para un contraejemplo: Por ejemplo, $g(x,y)=x^2+y^4$, si $g(a,b)=0$, entonces $a=b=0$ (estamos en los reales) tenemos que $g(ta,tb)=t^2a^2+t^4b^4=0$ para todo $t\in\mathbb{R}$.

Por lo tanto, es FALSO.