Encuentra todos los reales positivos $x$, $y$ y $z$ tales que $x + y + z = 6$, $1/x +1/y+1/z =2 - 4/xyz$

Question

Encuentra todos los números reales positivos $x$, $y$ y $z$ tales que \begin{align*} \begin{cases} x + y + z = 6\\\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 2 - \dfrac{4}{xyz} \end{cases} \end{align*}

Answer 1

Deje $t=xyz.$

$AM-GM$ en $x,y,z $

$\implies \displaystyle \frac{x+y+z}{3} \geq (xyz)^{1/3} \implies xyz = t\leq 8.$

$AM-GM$ en $xy,yz,zx $

$\implies \displaystyle \frac{xy+yz+zx}{3} \geq (xyz)^{2/3} \implies 2xyz-4\geq 3(xyz)^{2/3} \iff 2t-4 \geq 3t^{2/3}.$

Resolviendo esta desigualdad obtenemos $t \geq 8$. Por lo tanto, $t=8$, así que $xyz=8$ es la única solución.

Observe que mediante inspección directa $x=y=z=2$ satisfacen ambas ecuaciones y la restricción $t=8$, por lo que esta es la respuesta.