Espacio de Sobolev adecuado para un problema de valor en la frontera

Question

Dado el problema de dos puntos BVP: \begin{align} -(a(x)u'(x))'=f,\text{ en }(0,1)\\ u(0)=0\\ u'(1)=0 \end{align}

¿Cuál es el espacio de Hilbert apropiado para este problema? Mi idea es $H=H^2(0,1)\cap H_0^1[0,1]$. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sea $V=\{v\in H^1(0,1)\ |\ v(0)=0\}$. Al multiplicar la ecuación por algún $v\in V$ e integrar en $(0,1)$, el problema se convierte en encontrar $u\in V$ tal que $$ \int_0^1 a u' v' = \int_0^1 f v \qquad \forall v\in V. $$ Supongamos que $a(x)$ satisface $a(x)\ge \alpha$ para todo $x\in (0,1)$ y algún $\alpha > 0$. Entonces el problema está bien planteado. Observa que la CB Neumann es natural.