Problema de probabilidad con vectores aleatorios

Question

Problema

Supongamos que el 10% de la población americana fuma cigarrillos oscuros, el 35% fuma cigarrillos claros, el 3% fuma pipa y el resto de la población no fuma. Se encuestó a un grupo de 35 personas y con los resultados obtenidos, definimos las variables aleatorias: $$Y_1=\{\text{número de personas que fuman cigarrillos oscuros}\}$$$$Y_2=\{\text{número de personas que fuman cigarrillos claros}\}$$$$Y_3=\{\text{número de personas que fuman pipa}\}$$$$Y_4=\{\text{número de no fumadores}\}$$

1) Encuentra la masa de probabilidad de $(Y_1,Y_2,Y_3,Y_4)$ y la masa de probabilidad de $(Y_1,Y_2+Y_3,Y_4)$.

2) Encuentra la masa de probabilidad de $Y_2+Y_3$.

Esto es lo que he podido hacer:

1) Voy a abreviar $p_{Y_1,Y_2,Y_3,Y_4}(i,j,k,l)=p(i,j,k,l)$$$p(i,j,k,l)=\begin{cases} 0 & \mbox{si } i+j+k+l \neq 35 \\ {35 \choose i}{35-i \choose j}{35-i-j \choose k}{35-i-j-k \choose l}(\frac{1}{10})^i(\frac{7}{20})^j(\frac{3}{100})^k(\frac{13}{25})^l & \mbox{si } i+j+k+l=35 \end{cases}$$

Me gustaría saber si lo que he hecho es correcto y agradecería ayuda para calcular las otras masas de probabilidad. Gracias de antemano.

Answer 1

A) Utilizando el coeficiente multinomial, tenemos $$P(Y_1 = i, Y_2 = j, Y_3 = k, Y_4 = l) = \binom{35}{i,j,k,l}\left(\frac{10}{100}\right)^i\left(\frac{35}{100}\right)^j\left(\frac{3}{100}\right)^k\left(\frac{52}{100}\right)^l$$

b) En lugar de considerar cuatro categorías, ahora consideramos tres categorías donde las categorías dos y tres se han fusionado. Por lo tanto, podrías decir \begin{align*} X_1 &= \{\text{Número de personas que fuman cigarrillos oscuros}\}\\ X_2 &=\{\text{Número de personas que fuman cigarrillos o pipas}\}\\ X_3&=\{\text{Número de no fumadores}\} \end{align*} Dado que parecías entender la parte a), entonces esto no debería ser muy diferente.

c) En lugar de considerar un dado justo de seis caras, deseamos contar el número de doses y treses en 35 lanzamientos. Entonces, debería ser familiar que esto sigue una distribución binomial con $n = 35$, $p = 2/6$. De manera similar, la parte c) también sigue una distribución binomial con $n = 35, p = 38/100$.