Mostrando que la Derivada es Lineal

Question

Pregunta: En $$f(a+h) - f(a) = h f'(a + \frac h 2), \qquad a, h \in \mathbb R$$ muestra que $f'$ es una línea.

No tengo problemas con la primera parte. Sin embargo, tengo dificultades para derivar en función de h y concluir que f' debe ser una línea.

Primero, no estoy seguro de si calculé correctamente la derivada, pero esto es lo que obtuve: Derivada: $f'(a+h)=f'(a+h/2) +(h/2)*f''(a+h/2)$.

Answer 1

Como muestra tu derivación, tienes

$$2f'(a+h) - 2f'(a+h/2) = hf''(a+h/2)$$

dado que $a$ y $h$ son arbitrarios, tenemos que

$$f'(x) - f'(y) = (x-y) f''(y)$$

pero también al derivar respecto a $a$ obtienes

$$f'(a+h) - f'(a) = hf''(a+h/2)$$

nuevamente $a$ y $b$ son arbitrarios, por lo que tenemos

$$f'(x) - f'(y) = (x-y)f''\left({x+y\over2}\right)$$

Combinando estos dos resultados, dado que el LHS es el mismo, obtenemos

$$(x-y) f''(x) = (x-y)f''\left({x+y\over2}\right)$$

lo cual solo se cumple de manera general si $f''$ es constante, pero $f''$ siendo constante significa que hay una constante $A$ tal que $0=f''(x)-2A = {d\over dx}(f'(x)-2Ax))$, por lo que $f'(x)-2Ax$ es constante, lo que significa que hay una constante $B$ tal que $0=f'(x) - 2Ax - B = {d\over dx}(f(x) - Ax^2 - Bx)$, por lo que $f(x) - Ax^2 - Bx$ es constante, lo que significa que hay un $C$ tal que $f(x)=Ax^2+Bx+C$.