¿Es cierto que $\min\{x, y\} = 2 \sum_{n \geq 1, n~\text{impar}} \frac{\sin(n x) \sin(ny)}{n^2}$?

Question

Dejemos que $\lambda_j = \tfrac{4}{(2j - 1)^2 \pi^2}$ y $\psi_j(x) = \sqrt{2} \sin(\tfrac{2j-1}{2} \pi x)$ denoten las autofunciones asociadas al espacio de Sobolev de primer orden.

Se afirma en muchos textos sobre espacios de Hilbert de núcleo reproductor que tenemos $$ \min\{x, y\} = \sum_{j \geq 1} \lambda_j \psi_j(x) \psi_j(y) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n \geq 1, n~\text{impar}} \frac{\sin(\tfrac{n}{2} \pi y) \sin(\tfrac{n}{2} \pi x)}{n^2} $$ para cualquier $x, y \in [0, 1]$.

De manera equivalente, al dejar $t = x \pi/2, s = y \pi/2$, $$ \min\{t, s\} = 2 \sum_{n \geq 1, n~\text{impar}} \frac{\sin(n t) \sin(n s)}{n^2} $$ para cualquier $t, s \in [0, \pi/2]$.

¿Existe una verificación directa de este hecho? Intenté aplicar identidades trigonométricas pero no logré progresar en simplificar el lado derecho.

Answer 1

Debido a los coeficientes $\frac{8}{\pi^2}$ y $\frac{1}{n^2}$ en la serie, obtuve una pista de la demostración de la serie de Fourier de $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. $$ Después de juntar las cosas, aquí está la solución más directa a tu pregunta que he encontrado.

Calculamos la serie de Fourier en coseno de la función $$ f(x) = 1-x \quad \text{en }[0, 2]. $$ Es decir, extendemos la función de manera uniforme a $f(x)=1+x$ en $[-2, 0]$, y luego extendemos la función periódicamente con periodo $4$. Entonces $$ 1-x = a_0 + \sum_{i=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi}2 n x, \quad x\in [0, 2]. $$ Calculamos los coeficientes de Fourier mediante fórmulas estándar. \begin{align} a_0 &= \frac{1}{2}\int_0^2 (1-x)\,dx = 0,\\ a_n &= \int_0^2 (1-x)\cos\frac{\pi}2 n x\,dx\\ &= \frac{2}{n\pi}(1-x)\sin\frac{\pi}2 n x \Big|_0^2 + \frac{2}{n\pi}\int_0^2\sin\frac{\pi}2 n x \,dx\\ &=-\frac{4}{n^2\pi^2}\cos\frac{\pi}2 n x\Big|_0^2\\ &=\frac{4}{n^2\pi^2}(1-\cos(n\pi))=\frac{4}{n^2\pi^2}(1-(-1)^n)\\ &=\begin{cases} 0 & n \text{ par},\\ \frac{8}{n^2\pi^2} & n \text{ impar}. \end{cases} \end{align} Por lo tanto, $$ 1-x = \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\geq 1,n\text{ impar}} \frac{\cos\frac{\pi}2 n x}{n^2},\quad x\in [0, 2]. $$

Ahora adaptamos esto a tu caso. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x\geq y\in [0, 1]$. Entonces $\min(x, y)=y$, $x-y, x+y\in [0, 2]$.

Mediante una identidad trigonométrica estándar $$ \sin A\sin B = \frac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big), $$ vemos que \begin{align} &\quad \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\geq 1,n\text{ impar}} \frac{\sin(\frac{\pi}2 n x)\sin(\frac{\pi}2 n y)}{n^2}\\ &=\frac 1 2 \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\geq 1,n\text{ impar}} \frac{\cos(\frac{\pi}2 n (x-y))-\cos(\frac{\pi}2 n (x+y))}{n^2}\\ &= \frac 1 2 \big((1-(x-y)) - (1-(x+y))\big)\\ &= y = \min(x, y). \end{align} Por supuesto, la fórmula es válida ya que $x-y, x+y\in [0, 2]$ bajo la suposición $x\geq y\in [0, 1]$.

Si por otro lado $x\leq y\in [0, 1]$, entonces $x-y\in [-1, 0]$, y el cálculo anterior continuaría en las últimas dos líneas de la siguiente manera \begin{align} &=\frac{1}{2}(f(x-y) - f(x+y))\\ &=\frac{1}{2}\big(1+(x-y) - (1-(x+y)\big)\\ &=x = \min(x, y), \end{align} donde usamos $f(t)=1+t$ cuando $t\in [-2, 0]$ para $x-y$.