Espacios de Eilenberg-MacLane $K(G,n)$: ¡Construcción!

Question

Estoy buscando una construcción sencilla de $K(G, n)$, espacios de Eilenberg-MacLane.

Sé que puedo usar las Torres de Postnikov para la parte superior $\pi_i(X)=0$ para $i > n$.

Para la parte inferior $\pi_i(X)=0$ para $i < n$ y $\pi_n(X)=G$, puedo usar el Teorema de Aproximación Celular + Teorema de Excisión. O el Teorema de Hurewicz + Espacios de Moore.

Me pregunto si hay una manera más fácil de evitar un camino tan largo ya que solo tengo 1 hora para mostrar toda la construcción dado solo la definición de $\pi_n$ con propiedades simples y la secuencia relativa exacta larga para un par $(X,A)$, y tal vez el Teorema de Whitehead.

¡Gracias!

Answer 1

Existen construcciones del espacio clasificante $BG$ de un grupo topológico $G$ tal que si $G$ es un grupo topológico abeliano, entonces $BG$ también lo es (por ejemplo, debido a Segal). Entonces $K(G, n)$ es $B^n G.

Si conoces construcciones interesantes de los espacios de Moore $M(G, n)$, entonces según el teorema de Dold-Thom puedes tomar el producto simétrico infinito de estos. Por ejemplo, $K(\mathbb{Z}, n)$ es el producto simétrico infinito de $S^n.