Suma de n(2^n)

Question

Estaba haciendo una pregunta en la que tenía que encontrar la suma de la expresión $n(2^n)$ desde n=1 hasta n=9.

Usé Wolfram Alpha para calcular esta suma, pero me preguntaba si hay una forma más fácil de calcularla.

Answer 1

Esta es una progresión "ariogeométrica", (un producto de una PA con una PG) y existen métodos estándar para sumar estas.

Sea $$S_m=\sum_{k=1}^n k2^k=2+2\times 2^2+\cdots+m\times 2^m.$$ Entonces \begin{align} S_m&=2S_m-S_m=2^2+2\times 2^3+\cdots+m\times 2^{m+1} -(2+2\times 2^2+\cdots+m\times 2^m)\\ &=-2-2^2-\cdots-2^m+m2^{m+1}=2-2^{m+1}+m2^{m+1}=(m-1)2^{m+1}+2 \end{align} usando la fórmula para la suma de una PG.

Answer 2

Supongamos que n es finito. Ahora derivaremos una fórmula explícita para calcular la suma deseada para cualquier $x$, puedes sustituir $2$ en la fórmula final.
La suma: $S_1=\sum_{k=0}^{n} kx^{k}$ se parece mucho a: $S_2=\sum_{k=0}^{n} x^{k}$. $S_2$ es por supuesto una serie $\mathbb{geométrica}$: $S_2 = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.
Dado que n es finito, podemos derivar de forma segura $S_2$: $S_3 = \frac{d}{dx}(\sum_{k=0}^{n} x^{k})=\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1}=\frac{d}{dx}(\frac{1-x^{n+1}}{1-x})=...=\frac{-nx^{n}+nx^{n+1}-x^{n}+1}{(1-x)^2}$.
Queríamos una suma de $kx^k, x = 2$ y derivamos una fórmula explícita para la suma de $kx^{k-1}$. Ahora solo necesitamos multiplicar $S_3$ por $x$: $xS_3 = x\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{n} kx^{k} = S_1 = x\frac{-nx^{n}+nx^{n+1}-x^{n}+1}{(1-x)^2} = \frac{-nx^{n+1}+nx^{n+2}-x^{n+1}+x}{(1-x)^2}$.
Para $x=2$ obtenemos: $\sum_{k=0}^{n} k2^{k} = -n2^{n+1}+n2^{n+2}-2^{n+1}+2 = 2^{n+1}(n-1)+2$

Answer 3

Comenzaremos presentando la fórmula de suma de progresión geométrica: $$\sum_{i=a}^b c^i = \frac{c^{b-a+1}-1}{c-1}\cdot c^{a}$$ Encontrar la suma de la serie $\sum_{i=1}^{n}i\cdot b^{i}$ sigue siendo un problema sin resolver, pero a menudo podemos transformar un problema sin resolver en un problema ya resuelto. En este caso, nos ayudará la fórmula de suma de progresión geométrica.

Pasos: $$ \sum_{i=1}^{n}i\cdot b^{i} = \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=n-i}^{n}b^{j}= \sum_{i=0}^{n-1}\frac{b^{\left(n-\left(n-i\right)+1\right)}-1}{b-1}\cdot b^{\left(n-i\right)}= \sum_{i=0}^{n-1}\frac{b^{n+1}-b^{n-i}}{b-1}= \frac{\sum_{i=0}^{n-1}b^{n+1}-\sum_{i=0}^{n-1}b^{n-i}}{b-1}= \frac{nb^{n+1}-\sum_{i=0}^{n-1}b^{i+1}}{b-1}= \frac{nb^{n+1}-\frac{b^{n}-1}{b-1}\cdot b}{b-1}= \frac{nb^{n+1}}{b-1}-\frac{b^{n+1}-b}{\left(b-1\right)^{2}} $$ Ahora, simplemente reemplaza $b$ con $2$ $$ \frac{n\cdot2^{n+1}}{2-1}-\frac{2^{n+1}-2}{\left(2-1\right)^{2}}= \left(n-1\right)2^{n+1}+2 $$