Pregunta básica sobre sistema lineal? Resuelve el sistema $Ax=b$

Question

Resuelve el sistema lineal $Ax=b$ donde $b= (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$ y $A$ es la matriz dada por

$$a_{ij} = i+j \ \ , \ si \ \ \ i = j+1$$ $$ a_{ij} = i-j \ \ ,si \ \ \ i = j-1$$ $$ a_{ij} = ij \ \ ,si \ \ \ i=j $$

i,j = 1,...,10. No puedo ver el truco ... ¿alguien puede darme una ayuda?

Gracias de antemano

Answer 1

Si las otras entradas son realmente $0$, podemos encontrar esta solución computacionalmente:

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 9 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 16 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 25 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 11 & 36 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 13 & 49 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 64 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 17 & 81 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 19 & 100 \\ \end{bmatrix} x=b$$ tiene la solución $$x=\frac{1}{3038618579743}\begin{bmatrix} 2277107646977 \\ -761510932766 \\ 746660630124 \\ -126227572457 \\ 168364671813 \\ 34450063469 \\ 53595095084 \\ 35391904470 \\ 30389732597 \\ 24612136604\end{bmatrix}$$ donde $$b=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}.$$

Sólo hay una solución, ya que tiene determinante distinto de cero. No estaría dispuesto a hacer esto a mano.