Masa puntual deslizándose por una esfera (pregunta sobre la solución)

Question

Esto fue dado como un ejercicio en uno de los cursos de física para principiantes en nuestra universidad este año

Una partícula comienza en reposo en la cima de una esfera sin fricción de radio $R$ y se desliza hacia abajo en la esfera bajo la fuerza de la gravedad. ¿Qué tan lejos debajo de su punto de partida llega antes de salir volando de la esfera?

También se puede encontrar en (y probablemente fue tomado de) las Conferencias de Feynman. La solución dada a los estudiantes fue la misma que se puede encontrar en el sitio web de Fey. Lec. (me referiré a ella como la solución FL), y se pueden encontrar soluciones similares en Phys.SE, ya que preguntas sobre ejercicios similares o idénticos se han formulado anteriormente.

Tengo algunas preguntas sobre el ejercicio, la solución y más allá

• En el ejercicio: ¿Qué se entiende por "salir volando de la esfera"?

• En la solución FL: ¿Por qué la partícula no puede salir volando antes de que $N=0$?

• ¿Cómo sería la trayectoria de la partícula con la restricción $\boldsymbol{r}^2(t) \geq R^2$ y alguna velocidad inicial $\neq 0$ ?

• ¿Existen buenos libros que traten sobre restricciones no holonómicas (principalmente desigualdades) en el formalismo lagrangiano?

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Antecedentes sobre las preguntas

Sobre la primera pregunta: En mi opinión, "salir volando de la esfera en el tiempo $t_0$" tiene (al menos) 2 posibles significados muy naturales; El lado derecho muestra cómo lo formularía matemáticamente.

• $(M1)$ "perdiendo contacto en $t_0$" $ ~:\Leftrightarrow ~~t_0 = \inf\{ ~t \mid \boldsymbol{r}(t)^2 > R^2 \} $

(sí; lo anterior significa que podría volver a tocar la esfera después de $t_0$)

• $(M2)$ "nunca estando en la esfera nuevamente después de $t_0$" $ ~:\Leftrightarrow ~~ t_0 = \inf\{ ~t \mid \forall s > t : ~ \boldsymbol{r}(s)^2 > R^2 \} $

Pero ¿cuál de estos se entiende en el ejercicio? ¿O se entiende de una manera completamente diferente?

Y como pregunta de seguimiento: Si se entiende cualquiera de $M1$ o $M2$; ¿Dónde muestra la solución FL - ya que no calcula $\boldsymbol{r}(t)$ - que se cumple uno de ellos?

Sobre la segunda pregunta: La solución FL trata el problema de la siguiente manera: Suponer trayectoria circular hasta $h$ donde $N=0$; calcular $h$. Entonces tienen que asumir $$ N > 0 \Rightarrow \text{trayectoria circular hasta }h \Leftrightarrow \text{no salir volando antes de }h $$ Pero esto no me parece obvio, especialmente si "salir volando" significa cualquiera de $M1$ o $M2$.

Sobre la tercera pregunta: La solución FL asume que la partícula está en contacto con la esfera en todo momento antes de alcanzar alguna altura $h$. Esto se debe en parte a elegir la velocidad inicial como 0 (y en mi opinión también debido a la suposición implícita de que hay una restricción inicial $\boldsymbol{r}^2(t) = R^2$) . Pero ¿cómo se ve la trayectoria para diferentes velocidades iniciales, y asumiendo la restricción $\boldsymbol{r}^2(t) \geq R^2$ para todo $t$? No puede ser la misma que antes. Por ejemplo: Darle a la partícula una gran velocidad inicial la enviará fuera de la esfera en caída libre; sin deslizamiento en absoluto.

Sobre la cuarta pregunta: Normalmente intentaría derivar las ecuaciones de movimiento utilizando el formalismo lagrangiano. Pero en el caso de la restricción $\boldsymbol{r}^2(t) \geq R^2$, no sé cómo hacer esto. Las restricciones no holonómicas nunca se trataron (como mucho se mencionaron) en las conferencias a las que asistí o en los libros que consulté.

(Nota: La segunda pregunta ha sido cambiada. Algunas respuestas pueden no haberse actualizado aún.)

Answer 1

1. "Despegar" significa perder contacto con la esfera. Prácticamente esto ocurre cuando la reacción normal entre la partícula y la esfera se vuelve cero.

2. No está claro a qué te refieres con esto. Mientras la partícula se está moviendo en la esfera, sigue un camino circular, por lo que está acelerando radialmente. La fuerza neta en la dirección radial debe ser $ma_c=mv^2/R$. También hay una componente tangencial de fuerza, causando aceleración tangencial, pero esto no afecta a $a_c$. Solo la velocidad tangencial, no la aceleración tangencial, afecta al valor de $a_c$.

3. La restricción $r \ge R$ (No entiendo por qué escribes $r^2 \ge R^2$) significa que la partícula no puede penetrar la superficie de la esfera. El problema no implica que la partícula esté restringida a estar en la superficie de la esfera, de lo contrario nunca podría salir y el problema sería insignificante. La trayectoria está obviamente en 2 partes: (i) el arco de un círculo hasta que se cumple la condición 1 y la partícula pierde el contacto con la esfera; (ii) después, el arco de una parábola.

Si, en lugar de deslizarse desde el reposo, la partícula recibe una velocidad inicial $v_0$, entonces perderá el contacto con la esfera en un ángulo $\theta$ más pequeño. Una vez que haya perdido el contacto con la esfera, sigue una trayectoria parabólica que no vuelve a intersectar la esfera. Esto se debe a que la esfera curva más rápido que la parábola. El radio de curvatura de la parábola disminuye a ambos lados del vértice, mientras que la curvatura de la esfera es constante. Si la esfera y la parábola se tocan en un lado del vértice no pueden volver a intersectarse o tocarse nuevamente.

La partícula no vuelve a hacer contacto con la esfera para ninguna velocidad inicial $v_0$. Por lo tanto, no hay rebotes.

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La fuerza centrípeta no es una fuerza extra. Es la componente de otras fuerzas que representa la aceleración centrípeta (hacia adentro radialmente), es decir, el movimiento circular. De la misma manera, la fuerza tangencial es la componente de las fuerzas que representan la aceleración tangencial.

Las 2 fuerzas que mencionaste juntas proporcionan la fuerza centrípeta: la fuerza normal $N$ y la componente radial de la gravedad $mg\cos\theta$. Mientras la partícula permanece en contacto con la esfera, hay una aceleración radial hacia adentro $a_c$. Aplicando $F=ma$ a lo largo de la dirección radial hacia adentro:
$$mg\cos\theta-N=ma_c$$

A medida que la partícula desciende (es decir, a medida que $\theta$ aumenta), su velocidad $v$ aumenta, acelerada por la componente tangencial de la gravedad $mg\sin\theta$. Esto significa que su aceleración centrípeta $a_c=v^2/R$ también aumenta. Sin embargo, la componente $mg\cos\theta$ disminuye. $N$ se ajusta al valor que haga que la ecuación anterior se cumpla. Sin embargo, la restricción significa que no puede caer por debajo de cero, es decir, no puede ser hacia adentro. Entonces, la partícula pierde contacto cuando $N=0$, porque no hay suficiente fuerza centrípeta para mantenerla moviéndose en un círculo de radio $R$.

Si la partícula fuera una cuenta restringida para moverse en un aro circular, entonces el aro podría proporcionar una fuerza de reacción normal hacia adentro $N$ (es decir, + en la ecuación anterior), para que haya suficiente fuerza para la aceleración centrípeta con un radio fijo $R$ y velocidad creciente $v$.

Answer 2

Se aleja como M1. Estás pensando demasiado en esto.

A medida que te deslizas por la esfera, te mueves lentamente al principio. Si la esfera desapareciera repentinamente, seguirías una parábola. Si te estás moviendo lentamente en un lugar donde la esfera era casi horizontal, caerías a través del suelo, la parábola pasaría por donde había estado la esfera.

A medida que te deslizas más, te mueves más rápido y la superficie se vuelve más empinada. Hay un lugar donde la parábola que seguirías se vuelve tangente a la esfera. Más allá de este punto, sigues una parábola que deja atrás la superficie de la esfera.

Sí, es posible que una bola comience a rebotar en la parte superior de la esfera y rebote por la esfera hasta que caiga y nunca regrese. Pero en este problema, se desliza suavemente.

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La restricción $r^2 > R^2$ no significa más que la partícula siempre está fuera de la esfera. La distancia de la partícula desde el centro de la esfera, r, siempre es mayor que la distancia de la superficie de la esfera, R.

Entonces, si la partícula se acercara a la esfera, se pegaría, se deslizaría a lo largo de la superficie, rebotaría, o algo similar. Pero no penetraría la esfera.

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En este problema, la restricción no holonómica solo significa que la partícula no puede penetrar en la esfera. Hay muchos problemas de física elemental con este tipo de restricción. No necesitas un libro de texto sobre el tema.

Cuando estás parado en el suelo, la gravedad te empuja hacia abajo y el suelo te sostiene. La fuerza que ejerce el suelo es lo suficientemente grande como para evitar que penetres en el suelo.

Si llevas un peso, la fuerza combinada de la gravedad de ti y el peso aumenta. El suelo empuja hacia arriba con una fuerza lo suficientemente grande como para evitar que tú y el peso penetren en el suelo.

Si la gravedad se apaga, el suelo no ejerce fuerza alguna.

Si un helicóptero te levanta, el suelo no ejerce fuerza para evitarlo.