Encontrar el límite para la relación de recurrencia $ x_{n+1} = \sqrt{x_n + \frac 14} - \frac 1 2 $

Question

Sea $(x_n)_{n \ge1}$ una secuencia definida por $x_0 > 0$ y $x_{n+1}$ = $\sqrt{x_n + \frac 14} - \frac 12$. Mostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n = 0$ y encontrar $\lim_{n\to\infty}nx_n$.

Supongo que primero tengo que demostrar que la secuencia es monótonamente decreciente y acotada, por lo tanto, convergente, en cuyo caso, encontrar el límite real no sería tan difícil, pero la forma correcta de hacerlo parece eludirme. Además, para la segunda tarea intenté aplicar Stolz-Cesaro, lo cual solo me llevó a un callejón sin salida. En resumen, estoy atascado. Cualquier pista sería muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

$$ 0 < x_{n+1} = \sqrt{x_n + \frac 14} - \frac 1 2 = \frac{x_n}{\sqrt{x_n + \frac 14} + \frac 1 2} < x_n $$ muestra que la secuencia es decreciente y acotada por debajo por cero, por lo tanto convergente. El límite $L$ debe cumplir $$ L = \sqrt{L + \frac 14} - \frac 1 2 $$ lo cual implica que $L= 0$.

Luego, Stolz-Cesaro muestra que $$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n x_n} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} \right) $$ siempre y cuando el segundo límite exista. Pero $$ \frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\sqrt{x_n + \frac 14} - \frac 1 2} - \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\sqrt{x_n + \frac 14} + \frac 1 2} $$ converge a uno ya que $x_n$ converge a cero.