Dado un espacio topológico $\mathcal{X}=(X,\tau)$, el juego de Banach-Mazur en $\mathcal{X}$ es el juego (de dos jugadores, información perfecta, longitud-$\omega$) que se juega de la siguiente manera:
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Los jugadores $1$ y $2$ juegan alternativamente conjuntos abiertos no vacíos decrecientes $A_1\supseteq B_1\supseteq A_2\supseteq B_2\supseteq ...$.
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El jugador $1$ gana si y solo si $\bigcap_{i\in\mathbb{N}} A_i=\emptyset$.
ZFC implica que hay un subespacio de $\mathbb{R}$ con la topología usual cuyo juego de Banach-Mazur es indeterminado; por otro lado, es consistente con ZF+DC (¡y de hecho no agrega fuerza de consistencia!) que ningún subespacio de $\mathbb{R}$ haga esto ("cada conjunto de reales tiene la propiedad de Baire").
Sin embargo, cuando salimos de $\mathbb{R}$ las cosas se ponen mucho más extrañas. Mi pregunta es:
¿Prueba ZF sola que hay algún espacio $\mathcal{X}$ cuyo juego de Banach-Mazur es indeterminado?
Controlar el comportamiento de todos los posibles espacios topológicos en un modelo de ZF es extremadamente difícil para mí, y sospecho que la respuesta a la pregunta es de hecho sí. De hecho, recuerdo haber visto una demostración bastante simple de esto; sin embargo, no puedo ubicarla ni crear una construcción en ZF por mi cuenta (específicamente, todo lo que intento termina siendo una construcción recursiva frustrada por tener demasiados requisitos que cumplir en el número de pasos dado).
