Encuentra $\max |f'(i)|$ y el mapeo para el cual alcanza un máximo, si $f:\mathbb{H} \to \mathbb{D}$ es una función analítica y $f(i)=0.$
Notación: $\mathbb{H}=\{z\in \mathbb{C}: \operatorname{\mathfrak{Im}}z>0\}$ y $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}: |z|<1\}.$
Mi solución: Encontremos un mapeo (bilineal) $z=g(\zeta), \ \ \zeta \in \mathbb{D}$ de $\mathbb{D}$ a $\mathbb{H}$ tal que $g(0)=i$. Encontramos que $g(\zeta)=i \dfrac{\zeta + 1}{1-\zeta}, \ \ \zeta \in \mathbb{D}$. Luego, observamos la función $$\omega=F(\zeta)=(f \circ g)(\zeta)=f(g(\zeta))=f\left(i \frac{\zeta + 1}{1-\zeta}\right), \ \ \zeta \in \mathbb{D}$$ Claramente, $F:\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ es analítica y $F(0)=f(g(0))=f(i)=0$, por lo que podemos aplicar el lema de Schwarz para concluir que $$|F'(0)|\leqslant 1 \iff|f'(i)g(0)|\leqslant 1 \iff 2 |f'(i)|\leqslant 1 \iff |f'(i)|\leqslant \frac{1}{2}.$$ Si $|F'(0)|=1$ entonces encontramos que $F(\zeta)=e^{i\alpha}\zeta, \ \ \alpha \in [0,2\pi), \ \ \zeta \in \mathbb{D}$, por lo que $f\left(i \dfrac{\zeta + 1}{1-\zeta}\right)=e^{i\alpha}\zeta,\ \ \zeta \in \mathbb{D},$ o $$f(z)=e^{i\alpha} \frac{z-i}{z+i}, \ \ z \in \mathbb{H}, \ \ \alpha \in [0,2\pi).$$
Mi pregunta: Desde el lema de Schwarz también obtenemos $|F(\zeta)|\leqslant |\zeta|, \ \ \zeta \in \mathbb{D}.$ ¿Qué podemos concluir a partir de eso?
