Quiero limpiar la siguiente prueba, hay algunos detalles técnicos que me gustaría aclarar.
Pregunta: ¿Funciona la siguiente prueba?
Quiero demostrar que la función de Thomae con $f=\begin{cases} 0, x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q} \\ \frac{1}{q}, \ for \ x=\frac{p}{q} \ ,x\in [0,1]\cap \mathbb{Q} \end{cases}$
no tiene variación acotada en $[0,1]$
Recordemos que todas las funciones que tienen variación acotada pueden descomponerse como la diferencia de dos funciones monótonas crecientes. Consideremos la Descomposición de Jordan estándar:
$f=f^{+}-f^{-}$. Definimos una función $V:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ como $V(x)=V_f(0,x)$, y notamos que $V$ es monótona creciente en $[0,1]$ si $f$ tiene variación acotada. Además, tenemos que $V-f$ es una función monótona creciente en $[0,1]$ (de nuevo, si $f$ tiene variación acotada).
Observamos que tenemos $f=V-(V-f)$.
Para $V_f(0,x)$, vemos que la variación no es finita. Tomemos $x\in (a,b)\subset (0,1)$. Estamos garantizados por la densidad de encontrar un racional e irracional en ese intervalo. Sea $r$ el racional e $y$ el irracional. La variación $V_f(0,y)>\frac{1}{q}$ (ya que la función salta por $1/q$ cuando pasamos de racional a irracional). Sin embargo, podemos considerar una secuencia de intervalos que se reducen $(\frac{a}{n},\frac{b}{n})$. En cada intervalo, tenemos una variación de $V_f(0,y_n)>\frac{1}{q}$, y si consideramos la variación $\sum_{i=1}^{n}|f(r)-f(y)|\geq\frac{1}{q}$ y si tomamos $n\rightarrow \infty$ (reduciendo los intervalos a longitud arbitrariamente pequeña), entonces tenemos una serie armónica $\sum_{k=1}^{\infty}=k(\frac{1}{q})$ (para cada subintervalo, agregamos la variación, que es al menos $\frac{1}{q}$), y así la serie diverge, por lo que $V_f(0,x)$ no es finito, por lo tanto, la función de Thomae no es $BV([0,1])$
Podría haber usado la definición de $BV$ directamente y no haberme molestado con la descomposición de Jordan, pero quería mostrar la prueba de dos formas "casi" diferentes.
