Cada espacio métrico compacto es completo

Question

Necesito demostrar que todo espacio métrico compacto es completo. Creo que necesito utilizar los siguientes dos hechos:

1. Un conjunto $K$ es compacto si y solo si cada colección $\mathcal{F}$ de subconjuntos cerrados con propiedad de intersección finita tiene $\bigcap\{F:F\in\mathcal{F}\}\neq\emptyset$.
2. Un espacio métrico $(X,d)$ es completo si y solo si para cualquier secuencia $\{F_n\}$ de conjuntos cerrados no vacíos con $F_1\supset F_2\supset\cdots$ y $\text{diam}~F_n\rightarrow0$, $\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$ contiene un único punto.

No sé cómo llegar a mi resultado de que todo espacio métrico compacto es completo. ¿Alguna ayuda?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es cierto porque una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente es convergente.

Answer 2

Para el caso separable, aquí hay una linda demostración.

Si $(X,d)$ es compacto y separable no vacío, entonces el teorema de inclusión de Banach implica que existe una incrustación isométrica $\phi$ de $(X,d)$ en $(C[0,1],d_{\infty})$ donde $d_{\infty}$ es la norma sup.

Dado que cualquier incrustación isométrica es un homeomorfismo sobre su imagen, entonces $\phi(X)$ es compacto en $(C[0,1],d_{\infty})$. Dado que este último es completo y cualquier subconjunto compacto no vacío de un espacio métrico completo es completo, entonces $(\phi(X),d_{\infty}) es completo. Dado que$\phi$es una isometría, entonces lleva secuencias convergentes (resp. de Cauchy) a secuencias convergentes (resp. de Cauchy). El resultado se sigue al notar que dado que$\phi^{-1}$también es una isometría de$(\phi(X),d_{\infty})\rightarrow (X,d)$.

Answer 3

No tengo la puntuación suficiente para comentar respuestas, ¿puedo hacer mi pregunta con respecto a una de las respuestas aquí?

Se trata de la respuesta de @Student que ha recibido la mayoría de votos. Entiendo todo excepto por algo: Mi entendimiento es que, en el último paso, $|x_N-x|<\epsilon/2$ solo puede ser cierto cuando $x_N$ es un elemento de la subsecuencia convergente $\{x_{n_k}\}$, pero aquí necesitamos que $x_N$ esté en $\{x_n\}$, la secuencia general. Por lo tanto, creo que en la demostración original no se justifica el $|x_N-x|<\epsilon/2$.

Soy un aficionado (con formación en ingeniería, no en matemáticas). Así que mi argumento anterior debe estar equivocado en algún lugar. ¡Por favor ayúdame a entender! ¡Gracias de antemano!

Answer 4

Esto se sigue de Heine-Borel (ver la página wiki para las pruebas relevantes).

Answer 5

Pista: Si tienes una secuencia en la que $d(a_{N},a_{k})