Cada espacio métrico compacto es completo

Question

Necesito demostrar que todo espacio métrico compacto es completo. Creo que necesito utilizar los siguientes dos hechos:

1. Un conjunto $K$ es compacto si y solo si cada colección $\mathcal{F}$ de subconjuntos cerrados con propiedad de intersección finita tiene $\bigcap\{F:F\in\mathcal{F}\}\neq\emptyset$.
2. Un espacio métrico $(X,d)$ es completo si y solo si para cualquier secuencia $\{F_n\}$ de conjuntos cerrados no vacíos con $F_1\supset F_2\supset\cdots$ y $\text{diam}~F_n\rightarrow0$, $\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$ contiene un único punto.

No sé cómo llegar a mi resultado de que todo espacio métrico compacto es completo. ¿Alguna ayuda?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si no desea utilizar el teorema de Heine-Borel para espacios métricos (como sugirió la respuesta de Igor Rivin), entonces aquí hay otra forma de probar que un espacio métrico compacto es completo:

Observe que en espacios métricos, las nociones de compacidad y compacidad secuencial coinciden. Sea $x_n$ una sucesión de Cauchy en el espacio métrico $X$. Dado que $X$ es secuencialmente compacto, existe una subsucesión convergente $x_{n_k}\to x \in X$.

Todo lo que queda por mostrar ahora es que $x_n \to x$. Dado que $x_{n_k}\to x$ existe $N_1$ tal que $n_k \ge N_1$ implica $d(x_{n_k},x)<{\varepsilon\over 2}$. Sea $N_2$ tal que $n,m\ge N_2$ implica $d(x_n,x_m)<{\varepsilon \over 2}$.

Sea $n\geq N=\max(N_1,N_2)$ y elija algún $n_k\geq N$. Entonces $$ d(x_n,x)\le d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)<\varepsilon.$$

Por lo tanto, $X$ es completo.

Answer 2

Sea $\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb{N}}$ una secuencia descendente de conjuntos cerrados no vacíos que satisface que $\operatorname{diam} F_n\to 0$ cuando $n\to\infty$. Puedes verificar fácilmente que si $m_1 entonces $$ F_{m_1}\cap F_{m_2}\cap\cdots\cap F_{m_k} =F_{m_k}\neq \varnothing $$ así que $\langle F_n\rangle_{n\in\Bbb{N}}$ cumple con la propiedad de intersección finita. Dado que $(X,d)$ es un espacio métrico compacto, $\bigcap_{n\in\Bbb{N}} F_n$ no está vacío. Como $$ \operatorname{diam} \bigcap_{n\in\Bbb{N}} F_n \le \operatorname{diam} F_m\to 0\qquad \text{a medida que }\> m\to\infty $$ entonces $\bigcap_{n\in\Bbb{N}} F_n$ contiene a lo sumo un punto. Así que $\bigcap_{n\in\Bbb{N}} F_n$ es un singleton.

Answer 3

Sea $X$ un espacio métrico compacto y sea $\{p_n\}$ una sucesión de Cauchy en $X$. Definimos entonces $E_N$ como $\{p_N, p_{N+1}, p_{N+2}, \ldots\}$. Sea $\overline{E_N}$ la clausura de $E_N$. Dado que es un subconjunto cerrado de un espacio métrico compacto, también es compacto.

Por definición de sucesión de Cauchy, tenemos que $\lim_{N\to\infty} \text{diam } E_N = \lim_{N\to\infty} \text{diam } \overline{E_N} = 0$. Definimos $E = \cap_{n=1}^\infty \overline{E_n}$. Dado que $E_N \supset E_{N+1}$ y $\overline{E_N} \supset \overline{E_{N+1}}$ para todo $N$, tenemos que $E$ no es vacío. $E$ no puede tener más de $1$ punto ya que de lo contrario, $\lim_{N\to\infty} \text{diam } \overline{E_N} > 0$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $E$ contiene exactamente un punto $p \in \overline{E_N}$ para todo $N$. Así que $p \in X$.

Para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que $\text{diam } \overline{E_n} < \epsilon$ para todo $n > N$. Por lo tanto, $d(p,q) < \epsilon$ para todo $q \in \overline{E_n}$. Dado que $E_n \subset \overline{E_n}$, tenemos que $d(p,q) < \epsilon$ para todo $q \in E_n$. Por lo tanto, $\{p_n\}$ converge a $p \in X$.

Answer 4

Aquí hay una forma no tan sofisticada:

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy.

Si el conjunto de valores en la (imagen de la) sucesión es finito, entonces use el criterio de Cauchy para mostrar que la sucesión eventualmente es constante (y por lo tanto converge).

Si el conjunto de valores de la sucesión es infinito, entonces use la compacidad para encontrar un punto límite de este conjunto. Use este punto límite para construir una subsucesión convergente de la secuencia original. Luego use el criterio de Cauchy para mostrar que la secuencia original converge al mismo límite que la subsucesión.

Answer 5

Aquí hay una prueba simple:

Observa que un espacio métrico compacto es secuencialmente compacto. Por lo tanto, cada secuencia, incluidas las secuencias de Cauchy, tiene subsecuencias convergentes. Dado que todas las secuencias de Cauchy tienen subsecuencias convergentes, debemos encontrar que todas las secuencias de Cauchy convergen. Lo que significa que el espacio métrico es completo.