¿Cómo integrar $\int\int (x+y)^2\sin(x^2-y^2)dxdy$?

Question

Necesito integrar $\int\int (x+y)^2\sin(x^2-y^2)dxdy$ en el rango $D$ que está dado por un rectángulo con los vértices: $(0,1),(0,2),(1,0),(2,0)$.

Esta es una ilustración:

La forma sugerida de resolver la integral es mediante el método de sustitución.

Podemos encontrar las ecuaciones de las 4 líneas que forman el trapecio: $$ y+x=1\\ y+x=2\\ x=0\\ y=0 $$

Parece sencillo elegir $x+y=u$ y $x-y=v$. Pero aunque es fácil hacerlo para $u$, no veo cómo obtener valores para $x-y$. Supongo que podríamos decir que $x-y=-y$ pero eso será válido para cualquier $y$, por lo que no podemos obtener un punto específico.

EDITAR:

Finalmente llegué al enfoque que convierte los puntos de coordenadas $xy$ a $uv$. Básicamente lo que necesitamos hacer es enchufar los puntos $(x,y)$ en las ecuaciones $u=x+y, v=x-y$. Entonces, por ejemplo, para $(x=0, y=1)$ tenemos $u=0+1=1, v=0-1=-1$ por lo que el punto equivalente para $(x=0, y=1)$ en coordenadas $uv$ será $(1,-1)$. Podemos continuar con este enfoque para encontrar el resto de los valores:

Este artículo también fue muy útil: http://www.instructables.com/id/Change-of-Variables-of-Double-Integrals/

Answer 1

Pista: Una línea típica de constante-$u$, como $ x + y = c $, irá desde la línea vertical superior izquierda hasta la línea horizontal inferior derecha. Por ejemplo, $ x + y = 5/4 $ va desde $(0, 5/4)$ hasta $(5/4, 0)$. El primero de estos tiene $ x - y = -5/4$; el segundo tiene $ x - y = 5/4$. Entonces cuando $ u = 5/4 $, la integral interna debe ir desde $ -5/4$ hasta $ 5/4$. Repita este proceso para cada valor posible de $ c $ desde $ 1 $ hasta $ 2 $ para descubrir cómo escribir los límites superiores e inferiores para su integral interna en términos de la variable de integración de la integral externa, $ u $.