Para la diferenciación de $x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23}$, ¿por qué es legal la sustitución $x = a \cos^3\theta$?

Question

Mientras buscaba una solución para encontrar la derivada de $x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23}$, el libro utiliza:

Sea $x = a \cos^3\theta$ y $y = a\sin^3\theta$

Sin embargo, ¿por qué sería legal esa sustitución? $\cos\theta$ y $\sin\theta$ solo varían entre $-1$ y $1$, lo que implicaría que $x$ está en algún punto entre $a\cdot (-1)$ y $a\cdot (1)$ pero $x$ también podría ser $2a$ o $3a$ u cualquier otro valor de multiplicación por $a$ igualmente. ¿Por qué es legal la sustitución anterior?

Answer 1

Es válido porque, digamos que deseas que $x$ sea $8a$, entonces

$(8a)^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3}=a^{\frac 2 3}$

$y^{\frac 2 3}=-3a^{\frac 2 3}$ No tiene solución real para $y$ porque el lado izquierdo es un cuadrado y el lado derecho es un número negativo.

La idea es la misma para la parametrización del círculo unitario, $x^2+y^2=1$, ya que tanto $x$ como $y$ solo pueden variar entre $0$ y $1$, por lo que podemos dejar que $x=cos\theta$ y $y=sin\theta"