Supongamos que $A$ y $B$ son subconjuntos no vacíos de $\textbf{R}$ que están acotados por debajo. Sea $A + B = \{x\in\textbf{R}\mid (x = a + b)\wedge(a\in A)\wedge(b\in B)\}$. Demuestra que $A + B$ está acotado por debajo y que $\inf(A + B) = \inf(A) + \inf(B)$. ¿Qué pasa con los productos?
Mi intento
Consulta aquí.
Dado que $L_{1} + L_{2}$ es una cota inferior, debemos probar que $L = L_{1} + L_{2}$.
Basta con demostrar que $L \ge L_1 + L_2$, de hecho; obtienes $L \le L_1 + L_2$ de forma gratuita.
Dado $a\in A$, existe $\delta_{1}$ tal que $L_{1} \leq a < L_{1} + \delta$. De manera similar, dado $b\in B$, existe $\delta_{2}$ tal que $L_{2} \leq b < L_{2} + \delta_{2}$. En otras palabras, dado $a + b\in A + B$, existe $\delta_{1} + \delta_{2}$ tal que $L_{1} + L_{2} \leq a + b < \delta_{1} + \delta_{2}$. Esto significa que $L_{1} + L_{2}$ es el ínfimo de $A + B$.
Parece que has confundido un poco las cosas. Deberías estar usando el hecho de que, porque $L_1$ es el ínfimo de $A$, para todo $\delta_1 > 0$, existe un $a \in A$ tal que $L_1 \le a < L_1 + \delta_1$. Esto es equivalente a $L_1$ siendo el ínfimo de $A$. Lo que escribiste obviamente es cierto cuando $L_1$ es una cota inferior de $A$, incluso si no es el supremo (simplemente elige $\delta_1$ muy grande y positivo). La conclusión, de manera similar, tampoco concuerda, ya que tus $\delta$ podrían ser muy grandes.
En su lugar, manténlo preciso. Demuestra que, para todo $\varepsilon > 0$, existe algún $x \in A + B$ tal que $$L_1 + L_2 \le x < L_1 + L_2 + \varepsilon.$$ Nota que esto no es para algún $\varepsilon > 0$ (lo cual es trivialmente cierto), sino que es para todo $\varepsilon > 0$. Esto significa que $L_1 + L_2 + \varepsilon$ no es una cota inferior de $A + B$, sin importar cuán pequeño sea $\varepsilon > 0$, por lo tanto $L_1 + L_2$ es el ínfimo de $A + B$.
Para lograr esto, debes construir $x$. Intenta usar el hecho de que $L_1 + \varepsilon/2$ y $L_2 + \varepsilon/2$ no son, respectivamente, cotas inferiores de $A$ y $B$.
En cuanto al producto $AB = \{x\in\textbf{R} \mid (x = ab)\wedge(a\in A)\wedge(b\in B)\}$, se cumple el resultado $\inf(AB) = \inf(A)\inf(B)$, pero tenemos que considerar cuatro casos según los signos de los valores $\inf(A)$ y $\inf(B)$. Vamos a tratar el caso en el que $\inf(A) > 0$ y $\inf(B) > 0$.
Si permitimos que $\inf(A) = L_{1}$ y $\inf(B) = L_{2}$, entonces dado $a\in A$ y $b\in B$, tenemos que $a \geq L_{1} > 0$ y $b\geq L_{2} > 0$, de donde concluimos que $ab \geq L_{1}L_{2} > 0$. Por lo tanto, tenemos que probar que $L = L_{1}L_{2}$ es realmente el ínfimo. De hecho, dado $\delta_{1} > 0$ y $\delta_{2} > 0$, existen $a\in A$ y $b\in B$ tales que $0 < L_{1} \leq a < L_{1} + \delta_{1}$ y $0 < L_{2} \leq b < L_{2} + \delta_{2}$. En consecuencia, dado $\delta = L_{1}\delta_{2} + L_{2}\delta_{1} + \delta_{1}\delta_{2}$, existe $ab\in AB$, tal que tenemos $0 < L_{1}L_{2} \leq ab < L_{1}L_{2} + \delta$, de donde concluimos que $L = L_{1}L_{2} = \inf(AB)$.
Hay un problema similar aquí al de la prueba de suma. Realmente necesitas empezar con un $\delta > 0$ arbitrario, y construir $a$ y $b$ a partir de eso.
Dicho esto, ¡en realidad se supone que debes encontrar un contraejemplo! Tu suposición de que $L_1, L_2 > 0$ hará que esto funcione, pero quitar esta suposición fácilmente puede hacer que esto ya no sea cierto. Intenta encontrar un contraejemplo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
