¿La serie $X=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+..$ es divergente o convergente?

Question

Estoy tratando de usar la prueba de comparación aquí $Y= 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..$ . Mostrar que $0<(x_n)<=(y_n)$ . Dado que $Y$ diverge vemos que el $X$ también diverge.

$(1)$ ¿Estoy usando correctamente la prueba de comparación?

$(2)$ ¿Hay alguna otra manera de demostrar esto en lugar de usar teoremas?

Answer 1

Es divergente, ya que por el test de comparación $$ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots \geq \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots $$ que es $\tfrac12$ veces la famosa serie armónica $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots $$ que es conocida por diverger.

Answer 2

En caso afirmativo, obtenemos: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...=$$ $$=1+(X-1)+\frac{1}{2}(X-1)+\frac{1}{2^2}(X-1)+\ldots=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}(X-1)=2X-1,$$ lo cual dice que $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots$$ converge, lo cual es incorrecto.

Answer 3

Mediante la comparación término a término, la suma dada es mayor que $ \frac 1 4 \left(1+\frac 12+\frac 1 3+\ldots\right)$.

Answer 4

Aquí hay otro enfoque. Mediante sumas de Riemann, $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2k-1}\geq\int_1^n\frac1{2x-1}dx=\frac12\ln(2n-1),$$ por lo que la suma hasta el infinito diverge.

Answer 5

La serie es estrictamente mayor (en cada término) que la suma de los recíprocos de los números primos que se sabe que diverge.