Una prueba de una versión del principio del máximo

Question

Sea $U=\Omega \times (0,\infty),$ donde $~\Omega$ es un dominio acotado en $\mathbb{R}^n$ y $u \in C^{2,1}(\overline{U})$ satisface $$u_t \leq \Delta u+cu~~\text{en}~U,$$ donde $c \leq 0$ es una constante.

Pregunta: Si $u \geq 0,$ muestra que se cumple el principio débil del máximo para $u.$

Básicamente, quiero demostrar que el $\max$ de $u$ en $\overline{U}$ se alcanza en $\partial U.$ No tengo ni idea de por dónde empezar con este problema. Creo que aún no tengo muy claro algunas de estas cosas, así que si puedes, por favor proporciona una demostración detallada, te lo agradeceré mucho.

Answer 1

Supongamos que el máximo se alcanza en un punto interior. Entonces $u_t=0$ y $\Delta u\leq0$ en este punto. Así que a partir de la ecuación dada y el hecho de que $c\leq0$ se sigue que $u\leq0$. Esto es una contradicción si asumimos que $u$ no es identicamente cero.

Answer 2

Corrija $T\in(0,\infty)$ y suponga que $(x_*,t_*)$ es un punto máximo de $u$ en el dominio $\Gamma_T = [0,T)\times \Omega$. Si el punto máximo no está en el borde, entonces tenemos $u_t(x_*,t_*) \geq 0$ de lo contrario

$$u(x_*,t_* - \delta) = u(x_*,t_*) -\delta u_t(x_*,t_*) + \mathcal{O}(\delta^2) > u(x_*,t_*)$$ para un $\delta > 0$ suficientemente pequeño, lo que contradice que $(x_*,t_*)$ sea un punto máximo. A continuación usamos que $\Delta u(x_*,t_*) \leq 0$ ya que el Laplaciano es negativo en un punto máximo. Al combinar esto con $u_t \leq \Delta u + cu$ se obtiene que

$$u_t(x_*,t_*) \geq 0 \geq \Delta u(x_*,t_*) \geq u_t(x_*,t_*) - cu(x_*,t_*)$$

Ahora si $c < 0$ y $u\geq 0$ entonces $-cu(x_*,t_*) \geq0$ y tenemos una contradicción a menos que $u(x_*,t_*) = 0$, lo cual solo ocurre si $u\equiv 0.

Si $c=0$ entonces podemos tomar $w = u - \epsilon t$ para algún $\epsilon > 0$ para obtener la desigualdad $w_t = u_t - \epsilon \leq \Delta w - \epsilon < \Delta w$. Como arriba, esto conlleva a $w_t(x_*,t_*) \geq 0 \geq \Delta w(x_*,t_*) > w_t(x_*,t_*)$, lo que nos da una contradicción al ser $(x_*,t_*)$ un punto máximo de $w$. Tomando $\epsilon\to 0^+$ da el mismo resultado para $u: el punto máximo tiene que ser alcanzado en el borde.

Finalmente, dado que $T>0$ era arbitrario, se sigue que $\sup_{(t,x)\in \Gamma_\infty} u = \sup_{(t,x)\in\partial \Gamma_\infty} u$, por lo que el principio débil del máximo se cumple para $u$.