¿Es $f(z) = z$ analítica en el infinito?

Question

Curiosamente, encontré dos definiciones de ser analítico en el infinito que me darán respuestas diferentes a esta simple pregunta. Una definición es que $f(z) = z$ es analítico en el infinito si $f(z) = \frac{1}{z}$ es analítico en $z = 0$, lo que muestra que $f(z)$ no es analítico en el infinito. Otra definición es que $f(z)$ es analítico si $\frac{df(z)}{dz}$ existe en el infinito. Dado que $\frac{df(z)}{dz} = 1$, entonces $f(z) = z$ es analítico en el infinito.

Además, ¿se requiere que una función entera sea analítica en el infinito? No creo que sea cierto porque de lo contrario, el teorema de Liouville mostrará que no hay función entera.

Answer 1

Estas dos definiciones son incompatibles en general, no has tropezado con un caso raro. La primera es más fuerte que la segunda; si $\lim_{z \to \infty} f'(z)$ existe y no es cero, entonces $|f|$ será ilimitado en cualquier semirrecta a medida que $z \to \infty$, por el teorema del valor medio. Así que $f(1/z)$ será ilimitado (y por lo tanto no diferenciable) cerca de $0$.

En mi experiencia, la primera definición es estándar, y por lo tanto la función identidad no se considera analítica en $\infty$. Nunca he visto a nadie usar la segunda definición. Y como has adivinado correctamente, las funciones enteras no necesariamente son analíticas en $\infty"...

Answer 2

$f$ es analítica en $z=a\implies $ $f$ es diferenciable en $z=a. Pero NO al revés. Por ejemplo, $f(z)=|z|^2$ es diferenciable en $z=0$ pero NO es analítica en $z=0$.

Entonces, $\frac{df(z)}{dz}$ existe en $z=\infty$ no implica que $f$ sea analítica en $z=\infty$.